מה שתחת השורש חייב להיות ≥ 0

\(\sqrt{\text{ביטוי}}\) → דורשים: \(\text{ביטוי} \geq 0\)

💡 למה?

כי אין מספר ממשי שהריבוע שלו שלילי!

למשל: \(\sqrt{-4}\) לא קיים (במספרים ממשיים)

שלב 1: מה תחת השורש? → x

שלב 2: דורשים: \(x \geq 0\)

תחום: \(x \geq 0\) או \([0, \infty)\)

דוגמה 1: \(f(x) = \sqrt{x - 3}\)

תנאי: \(x - 3 \geq 0\)

פתרון: \(x \geq 3\)

תחום: \([3, \infty)\)

דוגמה 2: \(f(x) = \sqrt{5 - x}\)

תנאי: \(5 - x \geq 0\)

פתרון: \(5 \geq x\) או \(x \leq 5\)

תחום: \((-\infty, 5]\)

דוגמה 3: \(f(x) = \sqrt{2x + 6}\)

תנאי: \(2x + 6 \geq 0\)

פתרון: \(2x \geq -6\) → \(x \geq -3\)

תחום: \([-3, \infty)\)

דוגמה 4: \(f(x) = \sqrt{-3x + 12}\)

תנאי: \(-3x + 12 \geq 0\)

פתרון: \(12 \geq 3x\) → \(x \leq 4\)

תחום: \((-\infty, 4]\)

💡 השיטה: פותרים אי-שוויון ריבועי!

1. מוצאים את השורשים של הביטוי הריבועי

2. משרטטים פרבולה (סקיצה)

3. מסמנים איפה הפרבולה מעל ציר x (≥ 0)

דוגמה 5: \(f(x) = \sqrt{x^2 - 9}\)

תנאי: \(x^2 - 9 \geq 0\)

שורשים: \(x^2 = 9\) → \(x = 3\) או \(x = -3\)

פרבולה עם a > 0 (חיוך): חיובית "בחוץ"

תחום: \(x \leq -3\) או \(x \geq 3\)

בסימון קטעים: \((-\infty, -3] \cup [3, \infty)\)

דוגמה 6: \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 4}\)

תנאי: \(-x^2 + 4 \geq 0\)

שורשים: \(-x^2 + 4 = 0\) → \(x^2 = 4\) → \(x = \pm 2\)

פרבולה עם a < 0 (עצוב): חיובית "בפנים"

תחום: \(-2 \leq x \leq 2\) או \([-2, 2]\)

דוגמה 7: \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}\)

תנאי: \(x^2 - 4x + 3 \geq 0\)

פירוק: \((x-1)(x-3) \geq 0\)

שורשים: \(x = 1\) או \(x = 3\)

פרבולה עם a > 0 → חיובית "בחוץ"

תחום: \(x \leq 1\) או \(x \geq 3\)

דוגמה 8: \(f(x) = \sqrt{x^3}\)

תנאי: \(x^3 \geq 0\)

מתי x³ חיובי? כש-x חיובי! (מעלה אי-זוגית שומרת סימן)

תחום: \(x \geq 0\)

דוגמה 9: \(f(x) = \sqrt{x^4 - 16}\)

תנאי: \(x^4 - 16 \geq 0\)

פתרון: \(x^4 \geq 16\) → \(|x|^4 \geq 16\) → \(|x| \geq 2\)

תחום: \(x \leq -2\) או \(x \geq 2\)

דוגמה 10: \(f(x) = \sqrt{(x-1)(x+2)(x-4)}\)

תנאי: \((x-1)(x+2)(x-4) \geq 0\)

שורשים: \(x = -2, 1, 4\)

בודקים סימנים בכל קטע (או משתמשים בטבלת סימנים):

תחום: \([-2, 1] \cup [4, \infty)\)

1. שורש זוגי (√, ⁴√, ...) → דורש ביטוי ≥ 0

2. שורש אי-זוגי (³√, ⁵√, ...) → אין הגבלה! מוגדר לכל x

3. אם יש שורש + עוד משהו:

למשל \(f(x) = \sqrt{x-2} + 3x\)

השורש הוא ה"צוואר בקבוק" - הוא קובע את התחום!