המכנה חייב להיות שונה מאפס!

\(\frac{\text{מונה}}{\text{מכנה}}\) → דורשים: \(\text{מכנה} \neq 0\)

💡 למה?

חילוק באפס לא מוגדר! אי אפשר לחלק שום דבר באפס.

שימו לב: המונה יכול להיות כל דבר (גם 0) - רק המכנה אסור שיהיה 0!

דוגמה 1: \(f(x) = \frac{1}{x}\)

מכנה: x

תנאי: \(x \neq 0\)

תחום: \(x \neq 0\) או \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)

דוגמה 2: \(f(x) = \frac{5}{x - 3}\)

מכנה: x - 3

תנאי: \(x - 3 \neq 0\)

פתרון: \(x \neq 3\)

תחום: \(x \neq 3\)

דוגמה 3: \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{2x + 8}\)

מכנה: 2x + 8

תנאי: \(2x + 8 \neq 0\)

פתרון: \(2x \neq -8\) → \(x \neq -4\)

תחום: \(x \neq -4\)

דוגמה 4: \(f(x) = \frac{3x - 7}{-5x + 15}\)

מכנה: -5x + 15

תנאי: \(-5x + 15 \neq 0\)

פתרון: \(15 \neq 5x\) → \(x \neq 3\)

תחום: \(x \neq 3\)

💡 השיטה: פותרים את המשוואה הריבועית ומוציאים את השורשים!

דוגמה 5: \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}\)

מכנה: \(x^2 - 4\)

תנאי: \(x^2 - 4 \neq 0\)

פתרון: \(x^2 \neq 4\) → \(x \neq 2\) ו-\(x \neq -2\)

תחום: \(x \neq \pm 2\)

דוגמה 6: \(f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6}\)

מכנה: \(x^2 - 5x + 6\)

תנאי: \(x^2 - 5x + 6 \neq 0\)

פירוק: \((x-2)(x-3) \neq 0\)

פתרון: \(x \neq 2\) ו-\(x \neq 3\)

תחום: \(x \neq 2, 3\)

דוגמה 7: \(f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)

מכנה: \(x^2 + 1\)

תנאי: \(x^2 + 1 \neq 0\)

בדיקה: \(x^2 + 1 > 0\) לכל x! (ריבוע תמיד אי-שלילי, ועוד 1 זה בטוח חיובי)

המכנה לעולם לא מתאפס!

תחום: \(\mathbb{R}\) (כל המספרים)

דוגמה 8: \(f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 6x + 9}\)

מכנה: \(x^2 - 6x + 9\)

זיהוי: זה \((x-3)^2\)!

תנאי: \((x-3)^2 \neq 0\)

פתרון: \(x \neq 3\) (שורש כפול)

תחום: \(x \neq 3\)

דוגמה 9: \(f(x) = \frac{5}{x(x-1)(x+2)}\)

מכנה: \(x(x-1)(x+2)\)

תנאי: כל גורם צריך להיות ≠ 0

פתרון:

• \(x \neq 0\)
• \(x - 1 \neq 0\) → \(x \neq 1\)
• \(x + 2 \neq 0\) → \(x \neq -2\)

תחום: \(x \neq -2, 0, 1\)

דוגמה 10: \(f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^3 - 8}\)

מכנה: \(x^3 - 8\)

תנאי: \(x^3 - 8 \neq 0\)

פתרון: \(x^3 \neq 8\) → \(x \neq 2\)

תחום: \(x \neq 2\)

דוגמה 11: \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

מכנה: \(x - 2\)

תנאי: \(x \neq 2\)

שימו לב: אפשר לפרק ולצמצם: \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\)
אבל גם אחרי הצמצום, התחום נשאר \(x \neq 2\)!

תחום: \(x \neq 2\)

🔑 כלל חשוב:

גם אחרי צמצום, התחום נקבע לפי הפונקציה המקורית!

הנקודה הבעייתית לא "נעלמת" - היא הופכת ל"חור" בגרף.