💡 הסבר:

\(\sin\) ו-\(\cos\) מוגדרים לכל x!

\(\tan\) לא מוגדר כש-\(\cos x = 0\) (כלומר ב-\(\pm\frac{\pi}{2}, \pm\frac{3\pi}{2}, ...\))

\(\cot\) לא מוגדר כש-\(\sin x = 0\) (כלומר ב-\(0, \pm\pi, \pm 2\pi, ...\))

דוגמה 1: \(f(x) = \tan(x)\)

תנאי: \(\cos(x) \neq 0\)

\(\cos(x) = 0\) כאשר \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) (k שלם)

תחום: \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)

כלומר: \(x \neq ..., -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, ...\)

דוגמה 2: \(f(x) = \tan(2x)\)

תנאי: \(\cos(2x) \neq 0\)

\(2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)

\(x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\)

תחום: \(x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\)

דוגמה 3: \(f(x) = \tan(x - \frac{\pi}{3})\)

תנאי: \(x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)

\(x \neq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{5\pi}{6} + k\pi\)

תחום: \(x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi\)

דוגמה 4: \(f(x) = \sqrt{\sin(x)}\)

תנאי: \(\sin(x) \geq 0\)

מתי sin חיובי? ברביעים I ו-II

תחום: \(2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi\)

כלומר: \([0, \pi] \cup [2\pi, 3\pi] \cup [-2\pi, -\pi] \cup ...\)

דוגמה 5: \(f(x) = \sqrt{\cos(x)}\)

תנאי: \(\cos(x) \geq 0\)

מתי cos חיובי? ברביעים I ו-IV

תחום: \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)

דוגמה 6: \(f(x) = \sqrt{1 + \sin(x)}\)

תנאי: \(1 + \sin(x) \geq 0\) → \(\sin(x) \geq -1\)

בדיקה: \(\sin(x) \geq -1\) תמיד מתקיים! (הטווח של sin הוא [-1, 1])

תחום: ℝ (כל המספרים)

דוגמה 7: \(f(x) = \sqrt{2\cos(x) - 1}\)

תנאי: \(2\cos(x) - 1 \geq 0\)

\(\cos(x) \geq \frac{1}{2}\)

מתי cos ≥ ½? בקטע \(-\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3}\) (ומחזוריות)

תחום: \(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi\)

דוגמה 8: \(f(x) = \frac{1}{\sin(x)}\)

תנאי: \(\sin(x) \neq 0\)

\(\sin(x) = 0\) כאשר \(x = k\pi\)

תחום: \(x \neq k\pi\)

דוגמה 9: \(f(x) = \frac{1}{\cos(x) - 1}\)

תנאי: \(\cos(x) - 1 \neq 0\) → \(\cos(x) \neq 1\)

\(\cos(x) = 1\) כאשר \(x = 2k\pi\)

תחום: \(x \neq 2k\pi\)

דוגמה 10: \(f(x) = \frac{x}{\sin(x) + \cos(x)}\)

תנאי: \(\sin(x) + \cos(x) \neq 0\)

\(\sin(x) = -\cos(x)\) → \(\tan(x) = -1\)

\(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\)

תחום: \(x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi\)

דוגמה 11: \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{\sin(x)}}\)

תנאי שורש במכנה: \(\sin(x) > 0\)

מתי sin חיובי ממש? ברביעים I ו-II (לא כולל הגבולות)

תחום: \(2k\pi < x < \pi + 2k\pi\)

דוגמה 12: \(f(x) = \sqrt{\tan(x)}\)

תנאי 1 (tan מוגדר): \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)

תנאי 2 (שורש): \(\tan(x) \geq 0\)

מתי tan ≥ 0? ברביעים I ו-III

תחום: \(k\pi \leq x < \frac{\pi}{2} + k\pi\)

דוגמה 13: \(f(x) = \frac{\sqrt{\cos(x)}}{\sin(x) - \frac{1}{2}}\)

תנאי שורש: \(\cos(x) \geq 0\) (רביעים I, IV)

תנאי מכנה: \(\sin(x) \neq \frac{1}{2}\) → \(x \neq \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ו-\(x \neq \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)

שילוב: החיתוך של שני התנאים

תחום: \(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), \(x \neq \frac{\pi}{6} + 2k\pi\)