גדילה ודעיכה מעריכית - זמן מחצית החיים
גדילה ודעיכה מעריכית
זמן מחצית חיים וזמן הכפלה
⏱️ זמן מחצית חיים (Half-Life)
הזמן שבו הכמות יורדת לחצי מערכה
\(f(t_{1/2}) = \frac{f(0)}{2}\)
💡 מתי משתמשים?
- דעיכה רדיואקטיבית
- פינוי תרופה מהגוף
- ירידת ריכוז חומר
📐 מציאת זמן מחצית החיים
\(t_{1/2} = \frac{\log(0.5)}{\log q} = \frac{-\log 2}{\log q}\)
✏️ דוגמה 1: חומר רדיואקטיבי מתפרק ב-8% ביום. מהו זמן מחצית החיים?
פתרון:
\(q = 1 - 0.08 = 0.92\)
\(t_{1/2} = \frac{\log(0.5)}{\log(0.92)} = \frac{-0.301}{-0.0362} \approx 8.3\)
תשובה: כ-8.3 ימים
✏️ דוגמה 2: תרופה מתפנה מהגוף ב-15% בשעה. אחרי כמה שעות תישאר מחצית המינון?
פתרון:
\(q = 0.85\)
\(t_{1/2} = \frac{\log(0.5)}{\log(0.85)} \approx 4.27\)
תשובה: כ-4.3 שעות
🔄 שימוש בזמן מחצית חיים
💡 אם נתון זמן מחצית החיים:
אחרי כל זמן מחצית חיים, הכמות יורדת לחצי:
| זמן שעבר | כמות שנותרה |
|---|---|
| 0 | f(0) |
| \(t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{2}\) |
| \(2 \cdot t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{4}\) |
| \(3 \cdot t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{8}\) |
| \(n \cdot t_{1/2}\) | \(\frac{f(0)}{2^n}\) |
✏️ דוגמה: זמן מחצית החיים של חומר רדיואקטיבי הוא 10 שנים. אם יש 80 גרם, כמה יישאר אחרי 30 שנה?
פתרון:
30 שנים = 3 זמני מחצית חיים
\(\frac{80}{2^3} = \frac{80}{8} = 10\) גרם
תשובה: 10 גרם
⏱️ זמן הכפלה (Doubling Time)
הזמן שבו הכמות מכפילה את עצמה
\(t_2 = \frac{\log 2}{\log q}\)
✏️ דוגמה: אוכלוסייה גדלה ב-4% בשנה. אחרי כמה שנים תוכפל?
פתרון:
\(q = 1.04\)
\(t_2 = \frac{\log 2}{\log 1.04} = \frac{0.301}{0.017} \approx 17.7\)
תשובה: כ-18 שנים
⚡ כלל 70 (קירוב מהיר)
\(t_2 \approx \frac{70}{p}\)
כאשר p הוא אחוז השינוי
💡 דוגמאות:
- גדילה של 7% → זמן הכפלה ≈ 70/7 = 10 שנים
- גדילה של 10% → זמן הכפלה ≈ 70/10 = 7 שנים
- גדילה של 2% → זמן הכפלה ≈ 70/2 = 35 שנים
📋 טבלת סיכום
| זמן מחצית חיים | זמן הכפלה | |
|---|---|---|
| משמעות | הכמות יורדת ל-50% | הכמות עולה ל-200% |
| סוג תהליך | דעיכה (q < 1) | גדילה (q > 1) |
| נוסחה | \(\frac{\log 0.5}{\log q}\) | \(\frac{\log 2}{\log q}\) |
📝 סיכום
זמן מחצית חיים: הכמות יורדת ל-50%
זמן הכפלה: הכמות עולה ל-200%
כלל 70: זמן הכפלה/מחצית ≈ 70 ÷ אחוז