סדרה הנדסית מבוא, איבר כללי ומנת הסדרה
סדרה הנדסית
מבוא, איבר כללי ומנת הסדרה
🔢 מהי סדרה הנדסית?
סדרה הנדסית היא סדרה שבה המנה בין כל שני איברים עוקבים קבועה
כלומר: כל איבר שווה לאיבר הקודם כפול מספר קבוע
💡 ההבדל מסדרה חשבונית:
- סדרה חשבונית: הפרש קבוע (מחברים d)
- סדרה הנדסית: מנה קבועה (כופלים ב-q)
דוגמאות לסדרות הנדסיות:
- 2, 6, 18, 54, 162, ... (כופלים ב-3)
- 100, 50, 25, 12.5, ... (כופלים ב-0.5)
- 3, -6, 12, -24, 48, ... (כופלים ב-(-2))
- 1, 1, 1, 1, ... (כופלים ב-1)
📊 מנת הסדרה (q)
\(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
המנה בין איבר לאיבר שלפניו
💡 חישוב מנת הסדרה:
\(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ...\)
✏️ דוגמה: מצאו את מנת הסדרה: 4, 12, 36, 108, ...
פתרון:
\(q = \frac{12}{4} = 3\)
בדיקה: \(\frac{36}{12} = 3\) ✓ , \(\frac{108}{36} = 3\) ✓
מנת הסדרה: q = 3
🔍 סוגי מנות:
| ערך q | התנהגות הסדרה | דוגמה |
|---|---|---|
| q > 1 | עולה (אם a₁ > 0) | 2, 4, 8, 16, ... |
| 0 < q < 1 | יורדת ומתכנסת ל-0 | 8, 4, 2, 1, 0.5, ... |
| q = 1 | קבועה | 5, 5, 5, 5, ... |
| q < 0 | מתחלפת בסימן | 2, -4, 8, -16, ... |
🔄 כלל הנסיגה (הגדרה רקורסיבית)
\(\begin{cases} a_1 = a \\ a_{n+1} = a_n \cdot q \end{cases}\)
💡 משמעות:
- נתון האיבר הראשון a₁
- כל איבר שווה לאיבר הקודם כפול q
✏️ דוגמה: בסדרה הנדסית a₁ = 3, q = 2. מצאו את 5 האיברים הראשונים.
פתרון:
\(a_1 = 3\)
\(a_2 = 3 \cdot 2 = 6\)
\(a_3 = 6 \cdot 2 = 12\)
\(a_4 = 12 \cdot 2 = 24\)
\(a_5 = 24 \cdot 2 = 48\)
הסדרה: 3, 6, 12, 24, 48
⭐ נוסחת האיבר הכללי
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
💡 הסבר הנוסחה:
\(a_1 = a_1 \cdot q^0 = a_1\)
\(a_2 = a_1 \cdot q^1 = a_1 \cdot q\)
\(a_3 = a_1 \cdot q^2\)
\(a_4 = a_1 \cdot q^3\)
...
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
🔑 שימו לב: החזקה היא (n-1) ולא n!
✏️ דוגמה 1: בסדרה הנדסית a₁ = 5, q = 3. מהו האיבר השביעי?
פתרון:
\(a_7 = 5 \cdot 3^{7-1} = 5 \cdot 3^6 = 5 \cdot 729 = 3645\)
✏️ דוגמה 2: בסדרה הנדסית a₁ = 64, q = 0.5. מהו האיבר החמישי?
פתרון:
\(a_5 = 64 \cdot 0.5^{5-1} = 64 \cdot 0.5^4 = 64 \cdot 0.0625 = 4\)
🔍 מציאת מיקום איבר (n)
✏️ דוגמה: בסדרה הנדסית a₁ = 2, q = 3. באיזה מקום נמצא האיבר 162?
פתרון:
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
\(162 = 2 \cdot 3^{n-1}\)
\(81 = 3^{n-1}\)
\(3^4 = 3^{n-1}\)
\(n - 1 = 4\)
\(n = 5\) (האיבר במקום החמישי)
✅ תנאי לקיום סדרה הנדסית
שלושה מספרים a, b, c הם סדרה הנדסית אם ורק אם:
\(b^2 = a \cdot c\)
💡 הסבר:
אם a, b, c סדרה הנדסית עם מנה q, אז:
\(b = a \cdot q\) וגם \(c = b \cdot q = a \cdot q^2\)
לכן: \(b^2 = (a \cdot q)^2 = a^2 \cdot q^2 = a \cdot (a \cdot q^2) = a \cdot c\)
✏️ דוגמה: האם 4, 6, 9 הם סדרה הנדסית?
פתרון:
בודקים: \(b^2 = 6^2 = 36\)
\(a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36\)
\(36 = 36\) ✓
כן! זו סדרה הנדסית (q = 1.5)
🔗 מעבר בין איברים
\(a_n = a_k \cdot q^{n-k}\)
מציאת איבר n מתוך איבר k כלשהו
✏️ דוגמה: בסדרה הנדסית a₃ = 12, q = 2. מהו a₇?
פתרון:
\(a_7 = a_3 \cdot q^{7-3} = 12 \cdot 2^4 = 12 \cdot 16 = 192\)
📝 סיכום
\(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
מנת הסדרה: \(q = \frac{a_{n+1}}{a_n}\)
תנאי לסדרה הנדסית: \(b^2 = a \cdot c\)