סכום סדרה הנדסית
סדרה הנדסית
סכום סדרה הנדסית
🎯 סכום n האיברים הראשונים
רוצים לחשב:
\(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n\)
⭐ נוסחת הסכום (q ≠ 1)
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\)
💡 נוסחה שקולה (נוחה כש-q < 1):
\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)
⚠️ חשוב: הנוסחה תקפה רק כאשר q ≠ 1
📌 כש-q = 1:
הסדרה קבועה: a₁, a₁, a₁, ...
\(S_n = n \cdot a_1\)
📖 הבנת הנוסחה (פיתוח)
שלב 1: נכתוב את הסכום:
\(S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + ... + a_1 q^{n-1}\)
שלב 2: נכפיל ב-q:
\(q \cdot S_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + ... + a_1 q^{n}\)
שלב 3: נחסר:
\(S_n - q \cdot S_n = a_1 - a_1 q^n\)
\(S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)\)
\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)
✏️ דוגמאות
דוגמה 1: חשבו את סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה: 2, 6, 18, 54, ...
פתרון:
\(a_1 = 2, \quad q = \frac{6}{2} = 3, \quad n = 6\)
\(S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(729 - 1)}{2} = \frac{2 \cdot 728}{2} = 728\)
תשובה: S₆ = 728
דוגמה 2: חשבו את סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה: 81, 27, 9, 3, ...
פתרון:
\(a_1 = 81, \quad q = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}, \quad n = 5\)
\(S_5 = \frac{81\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{81\left(1 - \frac{1}{243}\right)}{\frac{2}{3}}\)
\(= \frac{81 \cdot \frac{242}{243}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{242}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{242}{2} = 121\)
תשובה: S₅ = 121
דוגמה 3: בסדרה הנדסית a₁ = 4, q = -2. חשבו S₄.
פתרון:
הסדרה: 4, -8, 16, -32
\(S_4 = \frac{4((-2)^4 - 1)}{-2 - 1} = \frac{4(16 - 1)}{-3} = \frac{4 \cdot 15}{-3} = \frac{60}{-3} = -20\)
תשובה: S₄ = -20
📐 נוסחה עם האיבר האחרון
\(S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}\)
💡 מתי נוח? כשנתון האיבר האחרון aₙ
✏️ דוגמה: בסדרה הנדסית a₁ = 3, aₙ = 192, q = 2. מהו הסכום?
פתרון:
\(S_n = \frac{192 \cdot 2 - 3}{2 - 1} = \frac{384 - 3}{1} = 381\)
תשובה: Sₙ = 381
🔄 בעיות הפוכות - מציאת נעלמים מהסכום
✏️ דוגמה - מציאת n:
בסדרה הנדסית a₁ = 1, q = 2 והסכום הוא 255. כמה איברים בסדרה?
פתרון:
\(S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1\)
\(255 = 2^n - 1\)
\(2^n = 256 = 2^8\)
n = 8 (8 איברים בסדרה)
✏️ דוגמה - מציאת a₁:
בסדרה הנדסית q = 3, n = 4, S₄ = 80. מצאו את a₁.
פתרון:
\(80 = \frac{a_1(3^4 - 1)}{3 - 1} = \frac{a_1(81 - 1)}{2} = \frac{80 \cdot a_1}{2} = 40 \cdot a_1\)
\(a_1 = \frac{80}{40} = 2\)
a₁ = 2
📋 טבלת סיכום
| מצב | נוסחה |
|---|---|
| q ≠ 1 | \(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) |
| q ≠ 1 (נוסחה שקולה) | \(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\) |
| עם האיבר האחרון | \(S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}\) |
| q = 1 | \(S_n = n \cdot a_1\) |
📝 סיכום
\(S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}\) (q ≠ 1)
זכרו: החזקה היא n (לא n-1 כמו באיבר הכללי!)