נסתכל על המכפלה הבאה:

\(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)

המספר 2 מוכפל בעצמו 6 פעמים.

אנו מסמנים את המכפלה הזו בצורה הבאה:

\(2^6 = 64\)

קוראים לזה: "2 בחזקת 6" או "החזקה השישית של 2"

💡 הגדרה כללית:

\(a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ פעמים}}\)

• בסיס החזקה (a): המספר שכופלים אותו בעצמו
• מעריך החזקה (n): כמה פעמים הבסיס מופיע ככופל במכפלה

כלל 1: העלאה בחזקה קודמת לחיבור, חיסור, כפל וחילוק

דוגמאות:

\(2 + 3^2 = 2 + 9 = 11\) (קודם חזקה, אח"כ חיבור)

\(5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40\) (קודם חזקה, אח"כ כפל)

כלל 2: פעולה בתוך סוגריים קודמת להעלאה בחזקה

דוגמה:

\((2 + 3)^2 = 5^2 = 25\) (קודם סוגריים!)

שימו לב: \(2 + 3^2 = 11\) זה לא אותו דבר!

כלל 3: פעולות במעריך קודמות להעלאה בחזקה

דוגמה:

\(2^{1+2} = 2^3 = 8\) (קודם מחשבים את המעריך)

חוק 1: כפל חזקות עם אותו בסיס

\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)

דוגמאות:

\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\)

\(x^5 \cdot x^2 = x^7\)

חוק 2: חילוק חזקות עם אותו בסיס

\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

(כאשר a ≠ 0 ו-m > n)

דוגמאות:

\(\frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27\)

\(\frac{x^8}{x^3} = x^5\)

חוק 3: חזקה של חזקה

\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)

דוגמאות:

\((2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12}\)

\((x^2)^5 = x^{10}\)

חוק 4: חזקה של מכפלה

\((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)

דוגמאות:

\((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\)

\((xy)^3 = x^3 y^3\)

חוק 5: חזקה של מנה

\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)

(כאשר b ≠ 0)

דוגמאות:

\(\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\)

\(\left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}\)

חוק 6: חזקה שלילית

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

(כאשר a ≠ 0)

דוגמאות:

\(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)

\(x^{-2} = \frac{1}{x^2}\)