חוקי חזקות

חוקי חזקות

אלגברה - יסודות

חוקי חזקות

🤔 מה זו חזקה?

חזקה היא קיצור לכפל חוזר של אותו מספר בעצמו.

an = a × a × a × ... × a

(n פעמים)

מונחים:

  • a = הבסיס (המספר שכופלים)
  • n = המעריך (כמה פעמים כופלים)

💡 דוגמה:
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
הבסיס הוא 2, המעריך הוא 5

📘 חוק 1: כפל חזקות בעלות בסיס שווה

an · ak = an+k

בעברית: כאשר כופלים שתי חזקות בעלות בסיס שווה, מקבלים חזקה בעלת אותו בסיס ומעריך השווה לסכום המעריכים.

🤔 למה זה עובד?
a3 · a2 = (a·a·a) · (a·a) = a·a·a·a·a = a5
3 פעמים + 2 פעמים = 5 פעמים!

✏️ דוגמאות:

23 · 24 = 23+4 = 27 = 128
52 · 53 · 5 = 52+3+1 = 56
x4 · x5 = x9
a · a3 = a1 · a3 = a4

⚠️ שימו לב: החוק עובד רק כשהבסיסים שווים!
23 · 34 ≠ 67 (טעות נפוצה!)

📗 חוק 2: חילוק חזקות בעלות בסיס שווה

an ÷ ak = an-k

או: an/ak = an-k

בעברית: כאשר מחלקים שתי חזקות בעלות בסיס שווה (≠0), מקבלים חזקה בעלת אותו בסיס ומעריך השווה להפרש המעריכים (מונה פחות מכנה).

🤔 למה זה עובד?
a5 ÷ a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a·a·a = a3
5 פעמים − 2 פעמים = 3 פעמים!

✏️ דוגמאות:

27 ÷ 23 = 27-3 = 24 = 16
108 ÷ 105 = 108-5 = 103 = 1000
x9 ÷ x4 = x5
y6/y2 = y4

📌 הערה: בשלב זה נתייחס רק למקרים שבהם n > k (המעריך במונה גדול מהמעריך במכנה).

📙 חוק 3: חזקה של חזקה

(an)k = an·k

בעברית: כאשר מעלים חזקה בחזקה, מקבלים חזקה עם אותו בסיס, בעלת מעריך השווה למכפלת שני המעריכים.

🤔 למה זה עובד?
(a3)2 = a3 · a3 = a3+3 = a6 = a3·2
כופלים a3 בעצמו 2 פעמים → 3 × 2 = 6

✏️ דוגמאות:

(23)4 = 23·4 = 212
(52)3 = 52·3 = 56
(x4)5 = x20
((a2)3)4 = a2·3·4 = a24

⚠️ אל תתבלבלו!
(an)k = an·k (כופלים מעריכים) ← חזקה של חזקה
an · ak = an+k (מחברים מעריכים) ← כפל חזקות

📕 חוק 4: חזקה של מכפלה

(a · b)n = an · bn

בעברית: כאשר מעלים מכפלה בחזקה, אפשר להעלות כל גורם בנפרד באותה חזקה.

🤔 למה זה עובד?
(a·b)3 = (a·b)·(a·b)·(a·b) = (a·a·a)·(b·b·b) = a3·b3

✏️ דוגמאות:

(2 · 3)4 = 24 · 34 = 16 · 81 = 1296
(xy)5 = x5 · y5
(2x)3 = 23 · x3 = 8x3
(3ab)2 = 32 · a2 · b2 = 9a2b2

💡 גם הכיוון ההפוך עובד:
an · bn = (a · b)n
דוגמה: 25 · 55 = (2 · 5)5 = 105 = 100,000

📘 חוק 5: חזקה של מנה (שבר)

(a/b)n = an/bn

בעברית: כאשר מעלים שבר בחזקה, מעלים גם את המונה וגם את המכנה באותה חזקה.

🤔 למה זה עובד?
(a/b)3 = a/b · a/b · a/b = a·a·a/b·b·b = a3/b3

✏️ דוגמאות:

(2/3)4 = 24/34 = 16/81
(x/y)5 = x5/y5
(3/5)2 = 9/25
(a/2)3 = a3/8

📊 טבלת סיכום: 5 חוקי החזקות

# שם החוק הנוסחה מה עושים למעריכים?
1 כפל חזקות an · ak = an+k מחברים
2 חילוק חזקות an ÷ ak = an-k מחסרים
3 חזקה של חזקה (an)k = an·k כופלים
4 חזקה של מכפלה (a·b)n = an·bn מפזרים
5 חזקה של מנה (a/b)n = an/bn מפזרים

💡 הערה חשובה: מה עושים כשהבסיסים שונים?

קיימים מקרים בהם נרצה לבצע פעולה בין חזקות, אבל הבסיסים לא שווים.
במקרים אלה, ננסה לבטא את כל החזקות בעזרת בסיסים שווים.

✏️ דוגמה: פשטו את 43 · 82

פתרון:
שני הבסיסים (4 ו-8) הם חזקות של 2!
4 = 22     8 = 23

43 · 82 = (22)3 · (23)2 = 26 · 26 = 212

✏️ דוגמה נוספת: פשטו את 272/93

פתרון:
27 = 33     9 = 32

272/93 = (33)2/(32)3 = 36/36 = 30 = 1

⚠️ טעויות נפוצות - הימנעו!

❌ טעות ✓ נכון הסבר
23 · 34 = 67 לא ניתן לפשט בסיסים שונים!
(a+b)2 = a2+b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 חוק 4 רק למכפלה!
a3 · a4 = a12 a3 · a4 = a7 כפל = חיבור מעריכים!
(a3)4 = a7 (a3)4 = a12 חזקה של חזקה = כפל!

📝 סיכום: חוקי החזקות

כפל חזקות: מחברים מעריכים (an·ak = an+k)

חילוק חזקות: מחסרים מעריכים (an÷ak = an-k)

חזקה של חזקה: כופלים מעריכים ((an)k = an·k)

מכפלה/מנה בחזקה: מפזרים את החזקה

🔑 מפתח: כל החוקים עובדים רק עם בסיסים שווים!