חוקי חזקות
אלגברה - יסודות
חוקי חזקות
🤔 מה זו חזקה?
חזקה היא קיצור לכפל חוזר של אותו מספר בעצמו.
an = a × a × a × ... × a
(n פעמים)
מונחים:
- a = הבסיס (המספר שכופלים)
- n = המעריך (כמה פעמים כופלים)
💡 דוגמה:
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
הבסיס הוא 2, המעריך הוא 5
📘 חוק 1: כפל חזקות בעלות בסיס שווה
an · ak = an+k
בעברית: כאשר כופלים שתי חזקות בעלות בסיס שווה, מקבלים חזקה בעלת אותו בסיס ומעריך השווה לסכום המעריכים.
🤔 למה זה עובד?
a3 · a2 = (a·a·a) · (a·a) = a·a·a·a·a = a5
3 פעמים + 2 פעמים = 5 פעמים!
✏️ דוגמאות:
| 23 · 24 | = 23+4 = 27 = 128 |
| 52 · 53 · 5 | = 52+3+1 = 56 |
| x4 · x5 | = x9 |
| a · a3 | = a1 · a3 = a4 |
⚠️ שימו לב: החוק עובד רק כשהבסיסים שווים!
23 · 34 ≠ 67 (טעות נפוצה!)
📗 חוק 2: חילוק חזקות בעלות בסיס שווה
an ÷ ak = an-k
או: an/ak = an-k
בעברית: כאשר מחלקים שתי חזקות בעלות בסיס שווה (≠0), מקבלים חזקה בעלת אותו בסיס ומעריך השווה להפרש המעריכים (מונה פחות מכנה).
🤔 למה זה עובד?
a5 ÷ a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a·a·a = a3
5 פעמים − 2 פעמים = 3 פעמים!
✏️ דוגמאות:
| 27 ÷ 23 | = 27-3 = 24 = 16 |
| 108 ÷ 105 | = 108-5 = 103 = 1000 |
| x9 ÷ x4 | = x5 |
| y6/y2 | = y4 |
📌 הערה: בשלב זה נתייחס רק למקרים שבהם n > k (המעריך במונה גדול מהמעריך במכנה).
📙 חוק 3: חזקה של חזקה
(an)k = an·k
בעברית: כאשר מעלים חזקה בחזקה, מקבלים חזקה עם אותו בסיס, בעלת מעריך השווה למכפלת שני המעריכים.
🤔 למה זה עובד?
(a3)2 = a3 · a3 = a3+3 = a6 = a3·2
כופלים a3 בעצמו 2 פעמים → 3 × 2 = 6
✏️ דוגמאות:
| (23)4 | = 23·4 = 212 |
| (52)3 | = 52·3 = 56 |
| (x4)5 | = x20 |
| ((a2)3)4 | = a2·3·4 = a24 |
⚠️ אל תתבלבלו!
(an)k = an·k (כופלים מעריכים) ← חזקה של חזקה
an · ak = an+k (מחברים מעריכים) ← כפל חזקות
📕 חוק 4: חזקה של מכפלה
(a · b)n = an · bn
בעברית: כאשר מעלים מכפלה בחזקה, אפשר להעלות כל גורם בנפרד באותה חזקה.
🤔 למה זה עובד?
(a·b)3 = (a·b)·(a·b)·(a·b) = (a·a·a)·(b·b·b) = a3·b3
✏️ דוגמאות:
| (2 · 3)4 | = 24 · 34 = 16 · 81 = 1296 |
| (xy)5 | = x5 · y5 |
| (2x)3 | = 23 · x3 = 8x3 |
| (3ab)2 | = 32 · a2 · b2 = 9a2b2 |
💡 גם הכיוון ההפוך עובד:
an · bn = (a · b)n
דוגמה: 25 · 55 = (2 · 5)5 = 105 = 100,000
📘 חוק 5: חזקה של מנה (שבר)
(a/b)n = an/bn
בעברית: כאשר מעלים שבר בחזקה, מעלים גם את המונה וגם את המכנה באותה חזקה.
🤔 למה זה עובד?
(a/b)3 = a/b · a/b · a/b = a·a·a/b·b·b = a3/b3
✏️ דוגמאות:
| (2/3)4 | = 24/34 = 16/81 |
| (x/y)5 | = x5/y5 |
| (3/5)2 | = 9/25 |
| (a/2)3 | = a3/8 |
📊 טבלת סיכום: 5 חוקי החזקות
| # | שם החוק | הנוסחה | מה עושים למעריכים? |
|---|---|---|---|
| 1 | כפל חזקות | an · ak = an+k | מחברים |
| 2 | חילוק חזקות | an ÷ ak = an-k | מחסרים |
| 3 | חזקה של חזקה | (an)k = an·k | כופלים |
| 4 | חזקה של מכפלה | (a·b)n = an·bn | מפזרים |
| 5 | חזקה של מנה | (a/b)n = an/bn | מפזרים |
💡 הערה חשובה: מה עושים כשהבסיסים שונים?
קיימים מקרים בהם נרצה לבצע פעולה בין חזקות, אבל הבסיסים לא שווים.
במקרים אלה, ננסה לבטא את כל החזקות בעזרת בסיסים שווים.
✏️ דוגמה: פשטו את 43 · 82
פתרון:
שני הבסיסים (4 ו-8) הם חזקות של 2!
4 = 22 8 = 23
43 · 82 = (22)3 · (23)2 = 26 · 26 = 212
✏️ דוגמה נוספת: פשטו את 272/93
פתרון:
27 = 33 9 = 32
272/93 = (33)2/(32)3 = 36/36 = 30 = 1
⚠️ טעויות נפוצות - הימנעו!
| ❌ טעות | ✓ נכון | הסבר |
|---|---|---|
| 23 · 34 = 67 | לא ניתן לפשט | בסיסים שונים! |
| (a+b)2 = a2+b2 | (a+b)2 = a2+2ab+b2 | חוק 4 רק למכפלה! |
| a3 · a4 = a12 | a3 · a4 = a7 | כפל = חיבור מעריכים! |
| (a3)4 = a7 | (a3)4 = a12 | חזקה של חזקה = כפל! |
📝 סיכום: חוקי החזקות
כפל חזקות: מחברים מעריכים (an·ak = an+k)
חילוק חזקות: מחסרים מעריכים (an÷ak = an-k)
חזקה של חזקה: כופלים מעריכים ((an)k = an·k)
מכפלה/מנה בחזקה: מפזרים את החזקה
🔑 מפתח: כל החוקים עובדים רק עם בסיסים שווים!