פונקציה מעריכים ומשוואה מעריכית
📈 פונקציות ומשוואות מעריכיות
הכרות בסיסית
🎯 חלק א': הפונקציה המעריכית
הגדרה
פונקציה מעריכית היא פונקציה שבה המשתנה נמצא במעריך (בחזקה).
\(f(x) = a^x\)
כאשר \(a > 0\) ו-\(a \neq 1\)
הצורה הכללית:
\(f(x) = b \cdot a^x + c\)
📊 תכונות הפונקציה \(f(x) = a^x\)
| תכונה | \(a > 1\) | \(0 < a < 1\) |
|---|---|---|
| התנהגות | 📈 עולה | 📉 יורדת |
| תחום | \(\mathbb{R}\) (כל המספרים) | |
| טווח | \((0, \infty)\) (רק חיוביים) | |
| נקודה קבועה | \((0, 1)\) כי \(a^0 = 1\) | |
| אסימפטוטה | ציר ה-x (הישר \(y = 0\)) | |
| חיתוך עם ציר y | \((0, 1)\) | |
📉📈 הגרפים
עולה, שואפת ל-0 משמאל
יורדת, שואפת ל-0 מימין
✏️ דוגמאות לפונקציות מעריכיות
\(f(x) = 2^x\)
בסיס 2, עולה
\(f(x) = 3 \cdot 2^x\)
מתיחה אנכית פי 3
\(f(x) = 2^x + 3\)
הזזה 3 למעלה, אסימפטוטה y=3
\(f(x) = e^x\)
בסיס e ≈ 2.718
🧮 חלק ב': משוואות מעריכיות
הגדרה
משוואה מעריכית היא משוואה שבה הנעלם נמצא במעריך.
דוגמאות:
\(2^x = 8\) , \(3^{2x+1} = 27\) , \(5^x = 5^{3x-4}\)
⭐ עקרון הפתרון המרכזי
\(a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)\)
(כאשר \(a > 0, a \neq 1\))
💡 במילים: אם הבסיסים שווים, אז המעריכים שווים!
🔧 שיטות פתרון
שיטה 1: השוואת בסיסים
כאשר אפשר להביא את שני האגפים לאותו בסיס.
דוגמה: פתרו \(2^x = 32\)
פתרון:
נזהה ש-\(32 = 2^5\)
\(2^x = 2^5\)
הבסיסים שווים, לכן: \(x = 5\)
דוגמה: פתרו \(9^x = 27\)
פתרון:
נביא לבסיס משותף (3):
\(9 = 3^2\) ו-\(27 = 3^3\)
\((3^2)^x = 3^3\)
\(3^{2x} = 3^3\)
\(2x = 3\)
\(x = \frac{3}{2} = 1.5\)
שיטה 2: שימוש בלוגריתם
כאשר לא ניתן להביא לאותו בסיס.
דוגמה: פתרו \(2^x = 5\)
פתרון:
נפעיל לוג על שני האגפים:
\(\log(2^x) = \log 5\)
\(x \cdot \log 2 = \log 5\)
\(x = \frac{\log 5}{\log 2} \approx \frac{0.699}{0.301} \approx 2.32\)
💡 נוסחה כללית:
\(a^x = b \implies x = \frac{\log b}{\log a} = \log_a b\)
שיטה 3: הצבה (משוואה ריבועית במסווה)
כאשר יש חזקות שונות של אותו בסיס.
דוגמה: פתרו \(4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0\)
פתרון:
נשים לב ש-\(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\)
נציב \(t = 2^x\) (כאשר \(t > 0\)):
\(t^2 - 6t + 8 = 0\)
\((t-2)(t-4) = 0\)
\(t = 2\) או \(t = 4\)
נחזור ל-x:
\(2^x = 2 \implies x = 1\)
\(2^x = 4 \implies x = 2\)
תשובה: \(x = 1\) או \(x = 2\)
⚠️ חשוב: תמיד לזכור ש-\(t = a^x > 0\)!
אם יוצא \(t \leq 0\), זה פתרון פסול.
📐 תזכורת: חוקי חזקות
| חוק | נוסחה | דוגמה |
|---|---|---|
| כפל חזקות | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) | \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\) |
| חילוק חזקות | \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) | \(\frac{2^5}{2^2} = 2^3\) |
| חזקה של חזקה | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) | \((2^3)^2 = 2^6\) |
| חזקת אפס | \(a^0 = 1\) | \(5^0 = 1\) |
| חזקה שלילית | \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) | \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) |
| חזקה שברית | \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) | \(8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4\) |
⚖️ אי-שוויונות מעריכיים
כלל חשוב: כיוון האי-שוויון תלוי בבסיס!
\(a > 1\)
\(a^{f(x)} > a^{g(x)}\)
\(\Downarrow\)
\(f(x) > g(x)\)
הכיוון נשמר
\(0 < a < 1\)
\(a^{f(x)} > a^{g(x)}\)
\(\Downarrow\)
\(f(x) < g(x)\)
הכיוון מתהפך!
✏️ דוגמה: פתרו \(2^x > 8\)
\(2^x > 2^3\)
הבסיס 2 > 1, לכן הכיוון נשמר:
\(x > 3\)
✏️ דוגמה: פתרו \(\left(\frac{1}{2}\right)^x > 4\)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\) (כי \(4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\))
הבסיס \(\frac{1}{2}\) < 1, לכן הכיוון מתהפך:
\(x < -2\)
💡 טיפים למבחן
1️⃣ לנסות בסיס משותף
תמיד לבדוק אם אפשר להביא לאותו בסיס לפני שימוש בלוג
2️⃣ לזכור חזקות
חזקות של 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64...
חזקות של 3: 3, 9, 27, 81...
3️⃣ הצבה t
כשיש \(a^{2x}\) ו-\(a^x\) - להציב \(t = a^x\)
4️⃣ אי-שוויונות
בסיס > 1: כיוון נשמר
בסיס < 1: כיוון מתהפך!
📝 סיכום
פונקציה מעריכית: \(f(x) = a^x\)
עקרון פתרון: \(a^{f(x)} = a^{g(x)} \implies f(x) = g(x)\)
שימוש בלוג: \(a^x = b \implies x = \log_a b\)
הפונקציה המעריכית והלוגריתם הן פונקציות הפוכות!