קדם אנליזה - זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה
קדם אנליזה
זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה
🔍 למה זה חשוב?
כשפונקציה היא זוגית או אי-זוגית, יש לה סימטריה מיוחדת.
זה מאפשר לנו:
- לשרטט רק חצי מהגרף ולהשלים את השאר
- לפשט חישובים (במיוחד באינטגרלים)
- להבין טוב יותר את התנהגות הפונקציה
🪞 פונקציה זוגית (Even Function)
\(f(-x) = f(x)\)
הערך של הפונקציה ב-x שווה לערך ב-(-x)
🔑 המשמעות הגיאומטרית:
הגרף סימטרי ביחס לציר Y
אם נקפל את הגרף לאורך ציר Y, שני החלקים יתאימו בדיוק
📚 דוגמאות לפונקציות זוגיות:
| פונקציה | בדיקה |
|---|---|
| \(f(x) = x^2\) | \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^4\) | \(f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = |x|\) | \(f(-x) = |-x| = |x| = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = \cos(x)\) | \(f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^2 + 3\) | \(f(-x) = (-x)^2 + 3 = x^2 + 3 = f(x)\) ✓ |
💡 כלל אצבע: חזקות זוגיות של x (כמו x², x⁴, x⁶...) הן פונקציות זוגיות!
🔄 פונקציה אי-זוגית (Odd Function)
\(f(-x) = -f(x)\)
הערך של הפונקציה ב-(-x) הוא המספר הנגדי לערך ב-x
🔑 המשמעות הגיאומטרית:
הגרף סימטרי ביחס לראשית הצירים (0,0)
אם נסובב את הגרף 180° סביב הראשית, הוא יישאר זהה
📚 דוגמאות לפונקציות אי-זוגיות:
| פונקציה | בדיקה |
|---|---|
| \(f(x) = x\) | \(f(-x) = -x = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^3\) | \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = x^5\) | \(f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = \sin(x)\) | \(f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)\) ✓ |
| \(f(x) = \frac{1}{x}\) | \(f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)\) ✓ |
💡 כלל אצבע: חזקות אי-זוגיות של x (כמו x, x³, x⁵...) הן פונקציות אי-זוגיות!
⚠️ תכונה מיוחדת: אם פונקציה אי-זוגית מוגדרת ב-x=0, אז:
\(f(0) = 0\)
כי: \(f(-0) = -f(0)\) → \(f(0) = -f(0)\) → \(2f(0) = 0\)
🔬 איך בודקים זוגיות/אי-זוגיות?
שלב 1: חשב את \(f(-x)\)
הצב (-x) במקום x בכל מקום בפונקציה
שלב 2: השווה את התוצאה
- אם \(f(-x) = f(x)\) → זוגית
- אם \(f(-x) = -f(x)\) → אי-זוגית
- אם אף אחד מהם → לא זוגית ולא אי-זוגית
✏️ דוגמאות מפורטות
דוגמה 1: בדוק האם \(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) זוגית/אי-זוגית
פתרון:
\(f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1\)
\(= x^4 - 3x^2 + 1\)
\(= f(x)\)
✓ הפונקציה זוגית
דוגמה 2: בדוק האם \(f(x) = x^3 - 2x\) זוגית/אי-זוגית
פתרון:
\(f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)\)
\(= -x^3 + 2x\)
\(= -(x^3 - 2x)\)
\(= -f(x)\)
✓ הפונקציה אי-זוגית
דוגמה 3: בדוק האם \(f(x) = x^2 + x\) זוגית/אי-זוגית
פתרון:
\(f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x\)
נבדוק:
\(f(x) = x^2 + x\) → \(f(-x) \neq f(x)\)
\(-f(x) = -x^2 - x\) → \(f(-x) \neq -f(x)\)
✗ הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית
⚖️ טבלת השוואה
| פונקציה זוגית | פונקציה אי-זוגית | |
|---|---|---|
| הגדרה | \(f(-x) = f(x)\) | \(f(-x) = -f(x)\) |
| סימטריה | ביחס לציר Y | ביחס לראשית (0,0) |
| דוגמאות | \(x^2, x^4, |x|, \cos x\) | \(x, x^3, x^5, \sin x\) |
| חזקות | חזקות זוגיות (2, 4, 6...) | חזקות אי-זוגיות (1, 3, 5...) |
| f(0) | יכול להיות כל ערך | חייב להיות 0 (אם מוגדר) |
🧮 תכונות נוספות
- סכום של זוגיות: זוגית + זוגית = זוגית
- סכום של אי-זוגיות: אי-זוגית + אי-זוגית = אי-זוגית
- מכפלת זוגיות: זוגית × זוגית = זוגית
- מכפלת אי-זוגיות: אי-זוגית × אי-זוגית = זוגית
- מכפלה מעורבת: זוגית × אי-זוגית = אי-זוגית
💡 הפונקציה היחידה שהיא גם זוגית וגם אי-זוגית:
\(f(x) = 0\)
📝 סיכום
זוגית: \(f(-x) = f(x)\) → סימטריה לציר Y
אי-זוגית: \(f(-x) = -f(x)\) → סימטריה לראשית
חזקה זוגית → פונקציה זוגית | חזקה אי-זוגית → פונקציה אי-זוגית