שיפוע ומשיק - המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת
📐 שיפוע ומשיק
המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת
🎯 למה זה חשוב?
שיפוע המשיק הוא הלב של החדו"א. הוא מתאר את קצב השינוי של הפונקציה בכל נקודה:
- מהירות רגעית = שיפוע המשיק לגרף המיקום
- תאוצה רגעית = שיפוע המשיק לגרף המהירות
- קצב גידול = שיפוע המשיק לגרף הכמות
הנגזרת \(f'(x)\) היא בדיוק שיפוע המשיק לגרף בכל נקודה!
📚 תזכורת: מהו שיפוע?
שיפוע של ישר = כמה ה-\(y\) משתנה כשה-\(x\) גדל ב-1
נוסחת השיפוע:
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
💡 ככל שהשיפוע גדול יותר (בערך מוחלט) - הישר "תלול" יותר
📏 מהו משיק?
משיק לגרף בנקודה הוא ישר ש"נוגע" בגרף בנקודה זו ויש לו את אותו "כיוון" כמו הגרף
ההבדל בין משיק לחותך:
|
משיק נוגע בגרף בנקודה אחת (בסביבת הנקודה) משקף את כיוון הגרף |
חותך (סקנט) עובר דרך שתי נקודות על הגרף משקף שיפוע ממוצע |
⭐ הקשר המרכזי: נגזרת = שיפוע המשיק
שיפוע המשיק לגרף \(f\) בנקודה \(x = a\) שווה ל-\(f'(a)\)
\(m_{משיק} = f'(a)\)
💡 זו המשמעות הגיאומטרית של הנגזרת!
הנגזרת בנקודה אומרת לנו כמה "תלול" הגרף באותה נקודה ולאיזה כיוון הוא פונה.
📝 משוואת המשיק
הנוסחה:
\(y - y_0 = m(x - x_0)\)
כאשר:
- \((x_0, y_0)\) - נקודת ההשקה על הגרף
- \(m = f'(x_0)\) - שיפוע המשיק (הנגזרת בנקודה)
📋 השלבים למציאת משוואת משיק:
| שלב | מה עושים? | מה מקבלים? |
|---|---|---|
| 1 | מוצאים את \(x_0\) (נתון או צריך למצוא) | \(x_0\) |
| 2 | מחשבים \(y_0 = f(x_0)\) | \(y_0\) - ערך ה-y של נקודת ההשקה |
| 3 | מוצאים את הנגזרת \(f'(x)\) | נוסחת הנגזרת |
| 4 | מחשבים \(m = f'(x_0)\) | \(m\) - שיפוע המשיק |
| 5 | מציבים בנוסחה \(y - y_0 = m(x - x_0)\) | משוואת המשיק |
✏️ דוגמה מפורטת
שאלה: מצאו את משוואת המשיק לגרף \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) בנקודה שבה \(x = 2\)
פתרון:
שלב 1: \(x_0 = 2\) (נתון)
שלב 2: נחשב את \(y_0\)
\(y_0 = f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0\)
נקודת ההשקה: \((2, 0)\)
שלב 3: נמצא את הנגזרת
\(f'(x) = 2x - 3\)
שלב 4: נחשב את השיפוע
\(m = f'(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1\)
שלב 5: נציב בנוסחה
\(y - 0 = 1 \cdot (x - 2)\)
\(y = x - 2\)
תשובה: משוואת המשיק היא \(y = x - 2\)
🔍 מציאת נקודת השקה (כש-\(x_0\) לא נתון)
לפעמים נתון השיפוע או תנאי אחר, וצריך למצוא את נקודת ההשקה.
דוגמה: מצאו את נקודת ההשקה שבה שיפוע המשיק שווה ל-5
נתונה \(f(x) = x^2 + x\)
פתרון:
1. נמצא את הנגזרת: \(f'(x) = 2x + 1\)
2. נפתור: \(f'(x) = 5\)
\(2x + 1 = 5\)
\(2x = 4\)
\(x = 2\)
3. נמצא את \(y\): \(f(2) = 4 + 2 = 6\)
נקודת ההשקה: \((2, 6)\)
💡 טיפים חשובים למבחן
1️⃣ משיק אופקי
משיק אופקי = שיפוע 0
לכן: \(f'(x) = 0\)
(זה גם התנאי לנקודת קיצון!)
2️⃣ משיקים מקבילים
שני משיקים מקבילים = אותו שיפוע
לכן: \(f'(x_1) = f'(x_2)\)
3️⃣ משיקים מאונכים
שני משיקים מאונכים:
\(m_1 \cdot m_2 = -1\)
4️⃣ משיק מקביל לישר
אם המשיק מקביל ל-\(y = 3x + 1\)
אז השיפוע שלו הוא 3
לכן: \(f'(x) = 3\)
🔄 ניסוחים שונים - אותו דבר!
בבגרות משתמשים בניסוחים שונים שכולם אומרים את אותו הדבר:
📝 סיכום
\(f'(a)\) = שיפוע המשיק לגרף בנקודה \(x = a\)
משוואת המשיק: \(y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)\)
עכשיו אתם מוכנים להמשיך לנושא הבא: כללי גזירה!