סימטריה - פונקציה זוגית ואי-זוגית

🪞 סימטריה - פונקציה זוגית ואי-זוגית

איך מזהים סימטריה בפונקציות ומה המשמעות שלה

🎯 למה זה חשוב?

זיהוי סימטריה יכול לחסוך המון עבודה!

  • אם הפונקציה זוגית - מספיק לחקור רק את החלק החיובי ולשקף
  • אם הפונקציה אי-זוגית - מספיק לחקור חצי ולסובב 180°
  • שאלה קלאסית בבגרות: "הוכיחו שהפונקציה זוגית/אי-זוגית"

✅ פונקציה זוגית

ההגדרה האלגברית:

\(f(-x) = f(x)\)

לכל \(x\) בתחום ההגדרה

המשמעות הגרפית:

סימטריה ביחס לציר Y

🪞 הגרף משתקף דרך ציר Y

דוגמאות לפונקציות זוגיות:

פונקציה בדיקה למה זוגית?
\(f(x) = x^2\) \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\) חזקה זוגית
\(f(x) = x^4\) \(f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)\) חזקה זוגית
\(f(x) = x^2 + 1\) \(f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)\) חזקות זוגיות + קבוע
\(f(x) = |x|\) \(f(-x) = |-x| = |x| = f(x)\) ערך מוחלט תמיד זוגי

💡 כלל אצבע: פונקציה שמכילה רק חזקות זוגיות של \(x\) (כולל קבוע = \(x^0\)) היא זוגית!

🔄 פונקציה אי-זוגית

ההגדרה האלגברית:

\(f(-x) = -f(x)\)

לכל \(x\) בתחום ההגדרה

המשמעות הגרפית:

סימטריה ביחס לראשית

🔄 סיבוב 180° סביב (0,0)

דוגמאות לפונקציות אי-זוגיות:

פונקציה בדיקה למה אי-זוגית?
\(f(x) = x\) \(f(-x) = -x = -f(x)\) חזקה אי-זוגית
\(f(x) = x^3\) \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\) חזקה אי-זוגית
\(f(x) = x^5\) \(f(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -f(x)\) חזקה אי-זוגית
\(f(x) = x^3 - x\) \(f(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)\) רק חזקות אי-זוגיות

💡 כלל אצבע: פונקציה שמכילה רק חזקות אי-זוגיות של \(x\) היא אי-זוגית!

⚠️ שימו לב: פונקציה אי-זוגית חייבת לעבור דרך הראשית (אם 0 בתחום ההגדרה)!

❌ לא זוגית ולא אי-זוגית

רוב הפונקציות הן לא זוגיות ולא אי-זוגיות!

זה קורה כשמתקיים:

  • \(f(-x) \neq f(x)\) (לא זוגית)
  • \(f(-x) \neq -f(x)\) (לא אי-זוגית)

דוגמאות:

פונקציה בדיקה למה לא ולא?
\(f(x) = x^2 + x\) \(f(-x) = x^2 - x\) ערבוב חזקות זוגיות ואי-זוגיות
\(f(x) = x^3 + 1\) \(f(-x) = -x^3 + 1\) חזקה אי-זוגית + קבוע
\(f(x) = x^2 + x + 1\) \(f(-x) = x^2 - x + 1\) ערבוב סוגים

📋 השלבים לבדיקת זוגיות

שלב מה עושים?
1 מחשבים את \(f(-x)\) - מציבים \(-x\) במקום כל \(x\)
2 מפשטים את הביטוי
3 משווים ל-\(f(x)\) ול-\(-f(x)\)
4 מסיקים: זוגית / אי-זוגית / לא ולא

✏️ דוגמאות מפורטות

דוגמה 1: בדקו אם \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\) זוגית/אי-זוגית

שלב 1: נחשב \(f(-x)\)

\(f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3\)

שלב 2: נפשט

\(f(-x) = x^4 - 2x^2 + 3\)

(כי חזקה זוגית של מינוס נותנת פלוס)

שלב 3: נשווה

\(f(-x) = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)\) ✓

מסקנה: הפונקציה זוגית ✅

דוגמה 2: בדקו אם \(f(x) = x^3 - 4x\) זוגית/אי-זוגית

שלב 1: נחשב \(f(-x)\)

\(f(-x) = (-x)^3 - 4(-x)\)

שלב 2: נפשט

\(f(-x) = -x^3 + 4x\)

שלב 3: נשווה

\(-f(x) = -(x^3 - 4x) = -x^3 + 4x\)

\(f(-x) = -f(x)\) ✓

מסקנה: הפונקציה אי-זוגית ✅

דוגמה 3: בדקו אם \(f(x) = x^2 + x\) זוגית/אי-זוגית

שלב 1+2: נחשב ונפשט \(f(-x)\)

\(f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x\)

שלב 3: נשווה

\(f(x) = x^2 + x\)

\(f(-x) = x^2 - x\)

\(-f(x) = -x^2 - x\)

\(f(-x) \neq f(x)\) ✗

\(f(-x) \neq -f(x)\) ✗

מסקנה: הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית ❌❌

📊 טבלת סיכום

סוג תנאי סימטריה דוגמה
זוגית \(f(-x) = f(x)\) ציר Y 🪞 \(x^2, x^4, |x|\)
אי-זוגית \(f(-x) = -f(x)\) ראשית 🔄 \(x, x^3, x^5\)
לא ולא אף אחד מהתנאים אין סימטריה \(x^2 + x\)

💡 טיפים חשובים למבחן

1️⃣ קיצור דרך לפולינומים

רק חזקות זוגיות (כולל קבוע) → זוגית

רק חזקות אי-זוגיות → אי-זוגית

ערבוב → לא ולא

2️⃣ חזקות של מינוס

\((-x)^2 = x^2\)

\((-x)^3 = -x^3\)

\((-x)^4 = x^4\)

חזקה זוגית "בולעת" את המינוס!

3️⃣ להראות עבודה!

בבגרות צריך להראות:

  • חישוב \(f(-x)\)
  • השוואה ל-\(f(x)\)
  • מסקנה מנומקת

4️⃣ תחום הגדרה סימטרי

כדי שפונקציה תהיה זוגית/אי-זוגית, התחום חייב להיות סימטרי סביב 0

📐 בונוס: פונקציות טריגונומטריות

פונקציה סוג כי...
\(\sin(x)\) אי-זוגית \(\sin(-x) = -\sin(x)\)
\(\cos(x)\) זוגית \(\cos(-x) = \cos(x)\)
\(\tan(x)\) אי-זוגית \(\tan(-x) = -\tan(x)\)

💡 טיפ לזכירה: \(\sin\) = "אי" (S = אי-זוגית), \(\cos\) = זוגית!

📝 סיכום

\(f(-x) = f(x)\) → זוגית (סימטריה לציר Y)

\(f(-x) = -f(x)\) → אי-זוגית (סימטריה לראשית)

עכשיו אתם מוכנים להמשיך לנושא הבא: קעירות ונקודות פיתול!