קעירות ונקודות פיתול
🔄 קעירות ונקודות פיתול
הנגזרת השנייה ומה היא מספרת לנו על צורת הגרף
🎯 למה זה חשוב?
דמיינו שאתם נוהגים במכונית על כביש מפותל:
- השיפוע (נגזרת ראשונה) אומר אם אתם עולים או יורדים
- הקעירות (נגזרת שנייה) אומרת לאיזה כיוון ההגה פונה!
🚗 קעור כלפי מעלה ∪ = ההגה פונה שמאלה (הכביש "מחבק" אתכם מלמטה)
🚗 קעור כלפי מטה ∩ = ההגה פונה ימינה (הכביש "מחבק" אתכם מלמעלה)
🔄 נקודת פיתול = הרגע שבו מחליפים כיוון פנייה!
📚 תזכורת: שלוש הפונקציות
∪ קעירות כלפי מעלה (קמורה)
|
התנאי: \(f''(x) > 0\) |
המשמעות הגרפית: צורת ∪ ("חיוך") המשיק מתחת לגרף |
💡 איך לזכור?
\(f''(x) > 0\) → חיובי → "מחייך" → ∪ → קעור כלפי מעלה
דוגמה קלאסית: \(f(x) = x^2\) קעורה כלפי מעלה (כי \(f''(x) = 2 > 0\))
∩ קעירות כלפי מטה (קעורה)
|
התנאי: \(f''(x) < 0\) |
המשמעות הגרפית: צורת ∩ ("עצוב") המשיק מעל לגרף |
💡 איך לזכור?
\(f''(x) < 0\) → שלילי → "עצוב" → ∩ → קעור כלפי מטה
דוגמה קלאסית: \(f(x) = -x^2\) קעורה כלפי מטה (כי \(f''(x) = -2 < 0\))
🔄 נקודת פיתול
נקודת פיתול = נקודה שבה הגרף משנה את כיוון הקעירות
מ-∪ ל-∩ או מ-∩ ל-∪
התנאים לנקודת פיתול:
| תנאי הכרחי | תנאי מספיק |
|---|---|
|
\(f''(x_0) = 0\) הנגזרת השנייה מתאפסת |
\(f''\) מחליפה סימן משני צדי הנקודה |
⚠️ חשוב מאוד!
\(f''(x_0) = 0\) הוא תנאי הכרחי אבל לא מספיק!
צריך גם ש-\(f''\) תחליף סימן בנקודה.
דוגמה נגדית: \(f(x) = x^4\)
\(f''(x) = 12x^2\), ו-\(f''(0) = 0\), אבל \(f'' \geq 0\) תמיד (לא מחליפה סימן) → אין פיתול!
📋 השלבים למציאת תחומי קעירות ונקודות פיתול
| שלב | מה עושים? |
|---|---|
| 1 | מוצאים את הנגזרת השנייה \(f''(x)\) |
| 2 | פותרים את המשוואה \(f''(x) = 0\) (נקודות חשודות לפיתול) |
| 3 | מסמנים על ציר המספרים ובודקים סימן בכל תחום |
| 4 | קובעים תחומי קעירות: \(f'' > 0\) → מעלה, \(f'' < 0\) → מטה |
| 5 | בודקים איפה יש החלפת סימן → נקודות פיתול (מחשבים גם את \(y\)!) |
✏️ דוגמה מפורטת
שאלה: מצאו את תחומי הקעירות ואת נקודות הפיתול של \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)
שלב 1: נמצא את הנגזרות
\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)
\(f''(x) = 6x - 6\)
שלב 2: פותרים \(f''(x) = 0\)
\(6x - 6 = 0\)
\(6x = 6\)
\(x = 1\)
שלב 3: בודקים סימן בכל תחום
| תחום | נקודת מבחן | ערך \(f''(x)\) | סימן |
|---|---|---|---|
| \(x < 1\) | \(x = 0\) | \(6 \cdot 0 - 6 = -6\) | − |
| \(x > 1\) | \(x = 2\) | \(6 \cdot 2 - 6 = 6\) | + |
שלב 4: תחומי קעירות
∩ קעורה כלפי מטה: \(x < 1\) (כי \(f'' < 0\))
∪ קעורה כלפי מעלה: \(x > 1\) (כי \(f'' > 0\))
שלב 5: נקודת פיתול
ב-\(x = 1\) יש החלפת סימן (מ-− ל-+) → יש פיתול!
נחשב את \(y\):
\(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0\)
נקודת פיתול: \((1, 0)\)
📊 טבלת סיכום: הקשר בין \(f, f', f''\)
| תנאי על \(f''\) | משמעות גרפית | מיקום המשיק |
|---|---|---|
| \(f''(x) > 0\) | קעור כלפי מעלה ∪ | המשיק מתחת לגרף |
| \(f''(x) < 0\) | קעור כלפי מטה ∩ | המשיק מעל לגרף |
| \(f''(x) = 0\) + החלפת סימן | נקודת פיתול | המשיק חוצה את הגרף |
🔗 הקשר בין קעירות לנקודות קיצון
אם \(f'(x_0) = 0\) (נקודה חשודה לקיצון), אז:
|
\(f''(x_0) > 0\) הגרף קעור למעלה ∪ ⬇️ מינימום מקומי |
\(f''(x_0) < 0\) הגרף קעור למטה ∩ ⬇️ מקסימום מקומי |
💡 טיפ לזכירה:
∪ (חיוך) = שמח = למטה = מינימום
∩ (עצוב) = הפוך = למעלה = מקסימום
💡 טיפים חשובים למבחן
1️⃣ לא לבלבל!
\(f' = 0\) → חשוד לקיצון
\(f'' = 0\) → חשוד לפיתול
2️⃣ תמיד לבדוק החלפת סימן!
\(f''(x_0) = 0\) לא מספיק
צריך שהסימן ישתנה משני צדי הנקודה
3️⃣ נקודת פיתול = זוג!
לא לשכוח לחשב את \(y\)
התשובה: \((x_0, f(x_0))\)
4️⃣ קעירות ≠ עלייה/ירידה
פונקציה יכולה לעלות ולהיות קעורה למטה
(או כל שילוב אחר)
📝 סיכום
\(f'' > 0\) → קעור למעלה ∪ | \(f'' < 0\) → קעור למטה ∩
נקודת פיתול: \(f'' = 0\) + החלפת סימן
עכשיו סיימתם את כל הבסיס של פרק מבוא ופולינום! 🎉