גאומטריה אנליטית - טרפז ודלתון בגאומטריה אנליטית
גאומטריה אנליטית - הישר
טרפז ודלתון בגאומטריה אנליטית
⏢ טרפז (Trapezoid)
הגדרה: מרובע שיש בו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות (הבסיסים)
🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא טרפז?
תנאי: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות
\(m_{AD} = m_{BC}\) (הבסיסים מקבילים)
\(m_{AB} \neq m_{DC}\) (השוקיים לא מקבילות)
⏢ טרפז שווה שוקיים (Isosceles Trapezoid)
הגדרה: טרפז ששוקייו שוות
🔍 איך מוכיחים שטרפז הוא שווה שוקיים?
דרך 1: השוקיים שוות באורכן
\(|AB| = |DC|\)
דרך 2: האלכסונים שווים
\(|AC| = |BD|\)
💡 תכונות נוספות:
- זוויות הבסיס שוות
- האלכסונים שווים (אבל לא חוצים זה את זה!)
◇ דלתון (Kite)
הגדרה: מרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
🔍 איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון?
דרך 1: שני זוגות צלעות סמוכות שוות
\(|AB| = |AD|\) וגם \(|CB| = |CD|\)
דרך 2: אלכסון אחד מאונך לשני וחוצה אותו
\(m_{AC} \cdot m_{BD} = -1\) ו-AC חוצה את BD
💡 תכונות דלתון:
- האלכסונים מאונכים זה לזה
- האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני
- האלכסון הראשי חוצה את זוויות הקודקודים
✏️ דוגמה מלאה
שאלה: נתון מרובע ABCD עם הקודקודים:
A(0, 0), B(4, 3), C(8, 0), D(4, -3)
הוכיחו שזה דלתון.
פתרון: נחשב את אורכי הצלעות:
\(|AB| = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
\(|AD| = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
\(|BC| = \sqrt{(8-4)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
\(|CD| = \sqrt{(4-8)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
מסקנה:
\(|AB| = |AD| = 5\) (זוג צלעות סמוכות שוות)
\(|BC| = |CD| = 5\) (זוג צלעות סמוכות שוות)
לכן ABCD הוא דלתון!
💡 הערה: במקרה זה כל הצלעות שוות, אז זה גם מעוין!
📝 סיכום
טרפז: זוג אחד של צלעות מקבילות
טרפז שווה שוקיים: + שוקיים שוות / אלכסונים שווים
דלתון: שני זוגות צלעות סמוכות שוות