גאומטריה אנליטית - הישר מציאת משוואת ישר על פי 2 נ
גאומטריה אנליטית - הישר
מציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות
🎯 השיטה - 2 שלבים
כדי למצוא משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות, עובדים בשני שלבים:
שלב 1: מציאת השיפוע
\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
שלב 2: מציאת b
מציבים את m ואחת הנקודות במשוואה:
\(y = mx + b\)
ופותרים למציאת b
✏️ דוגמה 1
שאלה: מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות \(A(1, 2)\) ו-\(B(3, 8)\)
שלב 1 - מציאת השיפוע:
\(m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\)
שלב 2 - מציאת b:
מציבים את \(m = 3\) ואת הנקודה \(A(1, 2)\):
\(2 = 3 \cdot 1 + b\)
\(2 = 3 + b\)
\(b = 2 - 3 = -1\)
\(y = 3x - 1\)
💡 בדיקה: נוודא שהנקודה B(3, 8) אכן על הישר:
\(y = 3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8\) ✓
✏️ דוגמה 2
שאלה: מצאו את משוואת הישר העובר דרך \(A(2, 5)\) ו-\(B(4, 1)\)
שלב 1 - מציאת השיפוע:
\(m = \frac{1 - 5}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2\)
שלב 2 - מציאת b:
מציבים \(m = -2\) והנקודה \(A(2, 5)\):
\(5 = -2 \cdot 2 + b\)
\(5 = -4 + b\)
\(b = 9\)
\(y = -2x + 9\)
✏️ דוגמה 3 - עם שברים
שאלה: מצאו את משוואת הישר העובר דרך \(A(1, 2)\) ו-\(B(4, 3)\)
שלב 1 - מציאת השיפוע:
\(m = \frac{3 - 2}{4 - 1} = \frac{1}{3}\)
שלב 2 - מציאת b:
מציבים \(m = \frac{1}{3}\) והנקודה \(A(1, 2)\):
\(2 = \frac{1}{3} \cdot 1 + b\)
\(2 = \frac{1}{3} + b\)
\(b = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\)
\(y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}\)
✏️ דוגמה 4 - עם מספרים שליליים
שאלה: מצאו את משוואת הישר העובר דרך \(A(-2, 4)\) ו-\(B(1, -2)\)
שלב 1 - מציאת השיפוע:
\(m = \frac{-2 - 4}{1 - (-2)} = \frac{-6}{1 + 2} = \frac{-6}{3} = -2\)
שלב 2 - מציאת b:
מציבים \(m = -2\) והנקודה \(B(1, -2)\):
\(-2 = -2 \cdot 1 + b\)
\(-2 = -2 + b\)
\(b = 0\)
\(y = -2x\)
(הישר עובר דרך ראשית הצירים!)
⚠️ מקרים מיוחדים
מקרה 1: ישר אופקי (y שווים)
דוגמה: נקודות \(A(2, 5)\) ו-\(B(7, 5)\)
\(m = \frac{5-5}{7-2} = \frac{0}{5} = 0\)
משוואת הישר: y = 5 (ישר אופקי)
מקרה 2: ישר אנכי (x שווים)
דוגמה: נקודות \(A(3, 1)\) ו-\(B(3, 8)\)
השיפוע לא מוגדר! (מחלקים ב-0)
משוואת הישר: x = 3 (ישר אנכי)
שימו לב: זו לא בצורה y = mx + b!
💡 שיטה חלופית - נוסחת שתי נקודות
משוואת ישר העובר דרך \((x_1, y_1)\) ו-\((x_2, y_2)\):
\(\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
✏️ דוגמה: נקודות \(A(1, 2)\) ו-\(B(3, 8)\)
\(\frac{y - 2}{x - 1} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\)
\(y - 2 = 3(x - 1)\)
\(y - 2 = 3x - 3\)
\(y = 3x - 1\)
📝 סיכום השיטה
שלב 1: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
שלב 2: הצבה ב-\(y = mx + b\) ופתרון ל-b
אל תשכחו לבדוק עם הנקודה השנייה!