גאומטריה אנליטית - הישר מרחק בין שתי נקודות
גאומטריה אנליטית - הישר
מרחק בין שתי נקודות
⭐ נוסחת המרחק
המרחק בין \(A(x_1, y_1)\) ו-\(B(x_2, y_2)\):
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
💡 מאיפה זה בא? משפט פיתגורס!
המרחק בין שתי נקודות הוא היתר של משולש ישר-זווית.
📐 ההוכחה - משפט פיתגורס
✏️ דוגמאות
דוגמה 1: מצאו את המרחק בין \(A(1, 2)\) ו-\(B(4, 6)\)
\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
דוגמה 2: מצאו את המרחק בין \(A(-2, 3)\) ו-\(B(1, 7)\)
\(d = \sqrt{(1-(-2))^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
דוגמה 3: מצאו את המרחק בין \(A(0, 0)\) ו-\(B(3, 4)\)
\(d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
(זו השלשה הפיתגורית 3-4-5!)
דוגמה 4: מצאו את המרחק בין \(A(2, 1)\) ו-\(B(5, 3)\)
\(d = \sqrt{(5-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\)
💡 שלשות פיתגוריות נפוצות
כדאי לזכור:
- 3, 4, 5 → \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)
- 5, 12, 13 → \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)
- 8, 15, 17 → \(8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2\)
- 6, 8, 10 → (כפולה של 3-4-5)
📍 מרחק נקודה מראשית הצירים
המרחק של \((x, y)\) מראשית הצירים \((0, 0)\):
\(d = \sqrt{x^2 + y^2}\)
✏️ דוגמה: המרחק של (6, 8) מראשית הצירים:
\(d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
📝 סיכום
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
הנוסחה מבוססת על משפט פיתגורס