גאומטריה אנליטית - משוואת המעגל - מרכז ורדיוס
גאומטריה אנליטית - המעגל
משוואת המעגל - מרכז ורדיוס
🎯 מהו מעגל?
הגדרה: מעגל הוא אוסף כל הנקודות במישור שנמצאות במרחק קבוע (הרדיוס) מנקודה קבועה (המרכז).
⭐ משוואת המעגל - הצורה הסטנדרטית
מעגל עם מרכז \(M(a, b)\) ורדיוס \(r\):
\((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
💡 איך לזכור?
הנוסחה אומרת: המרחק מכל נקודה (x, y) על המעגל למרכז (a, b) שווה ל-r.
זו בעצם נוסחת המרחק בריבוע!
🔍 זיהוי מרכז ורדיוס מהמשוואה
✏️ דוגמה 1: \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\)
מרכז: (3, 2)
רדיוס: \(r = \sqrt{25} = 5\)
✏️ דוגמה 2: \((x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 16\)
מרכז: (-4, 1)
💡 שימו לב: (x + 4) = (x - (-4)), אז a = -4
רדיוס: \(r = \sqrt{16} = 4\)
✏️ דוגמה 3: \((x + 2)^2 + (y + 5)^2 = 9\)
מרכז: (-2, -5)
רדיוס: \(r = \sqrt{9} = 3\)
✏️ דוגמה 4: \(x^2 + (y - 7)^2 = 49\)
מרכז: (0, 7)
💡 אם אין סוגריים ליד x, אז a = 0
רדיוס: \(r = \sqrt{49} = 7\)
⭕ מקרה מיוחד: מעגל עם מרכז בראשית הצירים
כאשר המרכז הוא (0, 0):
\(x^2 + y^2 = r^2\)
✏️ דוגמה: \(x^2 + y^2 = 36\)
מרכז: (0, 0)
רדיוס: \(r = \sqrt{36} = 6\)
📐 המשוואה הקנונית (הצורה המפורקת)
לפעמים משוואת המעגל מופיעה בצורה מפורקת:
\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)
🔄 איך עוברים לצורה הסטנדרטית?
משתמשים בהשלמה לריבוע!
💡 תזכורת - השלמה לריבוע:
\(x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{D}{2}\right)^2\)
✏️ דוגמה מפורטת - המרה לצורה סטנדרטית
שאלה: מצאו את מרכז ורדיוס המעגל: \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)
שלב 1: נקבץ את האיברים עם x ואת האיברים עם y:
\((x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12\)
שלב 2: נשלים לריבוע עבור x:
\(x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9\)
(מחצית של 6 היא 3, ו-3² = 9)
שלב 3: נשלים לריבוע עבור y:
\(y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4\)
(מחצית של 4 היא 2, ו-2² = 4)
שלב 4: נציב חזרה:
\((x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 = 12\)
\((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 = 25\)
תשובה:
מרכז: (3, -2)
רדיוס: \(r = \sqrt{25} = 5\)
⚡ נוסחה מקוצרת (לשימוש מהיר)
עבור המשוואה \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\):
מרכז: \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)\)
רדיוס: \(r = \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 + \left(\frac{E}{2}\right)^2 - F}\)
✏️ בדיקה עם הדוגמה הקודמת:
\(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\)
D = -6, E = 4, F = -12
מרכז: \(\left(-\frac{-6}{2}, -\frac{4}{2}\right) = (3, -2)\) ✓
רדיוס: \(r = \sqrt{9 + 4 - (-12)} = \sqrt{25} = 5\) ✓
✍️ כתיבת משוואת מעגל
דוגמה 1: כתבו משוואת מעגל עם מרכז (2, -3) ורדיוס 4
\((x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2\)
תשובה: \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\)
דוגמה 2: כתבו משוואת מעגל עם מרכז (-1, 5) ורדיוס 3
תשובה: \((x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 9\)
דוגמה 3: כתבו משוואת מעגל עם מרכז בראשית ורדיוס 7
תשובה: \(x^2 + y^2 = 49\)
📊 זיהוי מרכז ורדיוס משרטוט
💡 איך מזהים משרטוט?
- מוצאים את קואורדינטות המרכז (נקודה מרכזית)
- מודדים את המרחק מהמרכז לשפת המעגל (הרדיוס)
- כותבים את המשוואה
📝 סיכום
צורה סטנדרטית: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
מרכז: (a, b) | רדיוס: r
מעגל בראשית: \(x^2 + y^2 = r^2\)
צורה קנונית → השלמה לריבוע → צורה סטנדרטית