גאומטריה אנליטית - מיקום נקודה ביחס למעגל
גאומטריה אנליטית - המעגל
מיקום נקודה ביחס למעגל
🎯 שלושה מצבים אפשריים
נקודה יכולה להיות ביחס למעגל באחד משלושה מצבים:
⭐ העיקרון - השוואת מרחקים
נתון מעגל עם מרכז M ורדיוס r. נסמן את המרחק מנקודה P למרכז M ב-d.
\(d < r\)
בתוך המעגל
\(d = r\)
על המעגל
\(d > r\)
מחוץ למעגל
🔍 שיטת הבדיקה - הצבה במשוואה
שיטה מהירה: במקום לחשב מרחק, נציב את הנקודה במשוואת המעגל!
עבור מעגל \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) ונקודה \(P(x_0, y_0)\):
נחשב: \(S = (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2\)
\(S < r^2\)
בפנים
\(S = r^2\)
על המעגל
\(S > r^2\)
בחוץ
✏️ דוגמאות
נתון מעגל: \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\)
מרכז: (2, -1), רדיוס: 5
דוגמה 1: בדקו את מיקום הנקודה A(5, 3)
\(S = (5 - 2)^2 + (3 - (-1))^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\)
\(S = 25 = r^2\)
✓ הנקודה A על המעגל
דוגמה 2: בדקו את מיקום הנקודה B(3, 0)
\(S = (3 - 2)^2 + (0 - (-1))^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2\)
\(S = 2 < 25 = r^2\)
✓ הנקודה B בתוך המעגל
דוגמה 3: בדקו את מיקום הנקודה C(8, -1)
\(S = (8 - 2)^2 + (-1 - (-1))^2 = 6^2 + 0^2 = 36\)
\(S = 36 > 25 = r^2\)
✓ הנקודה C מחוץ למעגל
📏 שיטה חלופית - חישוב מרחק
דוגמה: האם הנקודה P(7, 3) בתוך, על, או מחוץ למעגל \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25\)?
שלב 1: נמצא את המרכז והרדיוס:
מרכז M(2, -1), רדיוס r = 5
שלב 2: נחשב את המרחק מ-P למרכז:
\(d = \sqrt{(7-2)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.4\)
שלב 3: נשווה:
\(d = \sqrt{41} \approx 6.4 > 5 = r\)
תשובה: הנקודה P מחוץ למעגל
✓ בדיקה אם נקודה נמצאת על המעגל
שאלה: האם הנקודה (6, 2) נמצאת על המעגל \(x^2 + y^2 = 40\)?
פתרון: נציב x = 6, y = 2 במשוואה:
\(6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40\) ✓
כן! הנקודה על המעגל כי מתקיים שוויון
📋 טבלת סיכום
| מיקום הנקודה | תנאי (מרחק) | תנאי (הצבה) |
|---|---|---|
| בתוך המעגל | \(d < r\) | \(S < r^2\) |
| על המעגל | \(d = r\) | \(S = r^2\) |
| מחוץ למעגל | \(d > r\) | \(S > r^2\) |
💡 טיפ: שיטת ההצבה מהירה יותר כי לא צריך לחשב שורש!
📝 סיכום
להצבת נקודה \((x_0, y_0)\) במשוואה \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\):
\(S < r^2\) → בפנים | \(S = r^2\) → על | \(S > r^2\) → בחוץ