גאומטריה אנליטית - נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים
גאומטריה אנליטית - המעגל
נקודות חיתוך של מעגל עם הצירים
🎯 העיקרון
כדי למצוא נקודות חיתוך עם ציר, נציב את הערך המתאים:
חיתוך עם ציר x
על ציר x תמיד \(y = 0\)
נציב y = 0 במשוואה ונפתור
חיתוך עם ציר y
על ציר y תמיד \(x = 0\)
נציב x = 0 במשוואה ונפתור
📊 המחשה גרפית
📍 חיתוך עם ציר x (הצבת y = 0)
דוגמה: מצאו את נקודות החיתוך של המעגל \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\) עם ציר x.
שלב 1: נציב y = 0:
\((x - 3)^2 + (0 - 2)^2 = 25\)
\((x - 3)^2 + 4 = 25\)
שלב 2: נפתור:
\((x - 3)^2 = 21\)
\(x - 3 = \pm\sqrt{21}\)
\(x = 3 \pm \sqrt{21}\)
תשובה: נקודות החיתוך: \((3 + \sqrt{21}, 0)\) ו-\((3 - \sqrt{21}, 0)\)
📍 חיתוך עם ציר y (הצבת x = 0)
דוגמה: מצאו את נקודות החיתוך של המעגל \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\) עם ציר y.
שלב 1: נציב x = 0:
\((0 - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\)
\(9 + (y - 2)^2 = 25\)
שלב 2: נפתור:
\((y - 2)^2 = 16\)
\(y - 2 = \pm 4\)
\(y = 6\) או \(y = -2\)
תשובה: נקודות החיתוך: (0, 6) ו-(0, -2)
🔢 כמה נקודות חיתוך אפשריות?
💡 איך יודעים מראש?
כשמקבלים משוואה ריבועית, בודקים את הדיסקרימיננטה:
- \(\Delta > 0\) → שני פתרונות (2 נקודות חיתוך)
- \(\Delta = 0\) → פתרון אחד (המעגל משיק לציר)
- \(\Delta < 0\) → אין פתרונות (אין חיתוך)
✏️ דוגמה - מעגל שלא חותך את ציר x
שאלה: מצאו את נקודות החיתוך של \((x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 9\) עם ציר x.
נציב y = 0:
\((x - 1)^2 + (0 - 5)^2 = 9\)
\((x - 1)^2 + 25 = 9\)
\((x - 1)^2 = -16\)
אין פתרון! ריבוע לא יכול להיות שלילי.
מסקנה: המעגל לא חותך את ציר x.
(המרכז (1, 5) רחוק מציר x יותר מהרדיוס 3)
✏️ דוגמה מלאה - מציאת כל נקודות החיתוך
שאלה: מצאו את כל נקודות החיתוך של המעגל \(x^2 + y^2 = 25\) עם הצירים.
חיתוך עם ציר x: נציב y = 0
\(x^2 + 0 = 25\) → \(x = \pm 5\)
נקודות: (5, 0) ו-(-5, 0)
חיתוך עם ציר y: נציב x = 0
\(0 + y^2 = 25\) → \(y = \pm 5\)
נקודות: (0, 5) ו-(0, -5)
סה"כ 4 נקודות חיתוך: (5, 0), (-5, 0), (0, 5), (0, -5)
📝 סיכום
חיתוך עם ציר x: הציבו y = 0 ופתרו
חיתוך עם ציר y: הציבו x = 0 ופתרו
אפשריות: 0, 1, או 2 נקודות חיתוך עם כל ציר