גאומטריה אנליטית - חיתוך ישר עם מעגל
גאומטריה אנליטית - המעגל
חיתוך ישר עם מעגל
🎯 שלושה מצבים אפשריים
⭐ השיטה - הצבה
שלב 1: מבודדים y (או x) ממשוואת הישר
שלב 2: מציבים במשוואת המעגל
שלב 3: פותרים משוואה ריבועית
שלב 4: מציבים חזרה למציאת הקואורדינטה השנייה
💡 הדיסקרימיננטה קובעת:
\(\Delta > 0\)
2 נקודות
\(\Delta = 0\)
נקודה 1
\(\Delta < 0\)
0 נקודות
✏️ דוגמה 1 - ישר החותך מעגל (2 נקודות)
שאלה: מצאו את נקודות החיתוך של \(y = x + 1\) עם \(x^2 + y^2 = 25\)
שלב 1: נציב \(y = x + 1\) במעגל:
\(x^2 + (x + 1)^2 = 25\)
שלב 2: נפתח ונפשט:
\(x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25\)
\(2x^2 + 2x - 24 = 0\)
\(x^2 + x - 12 = 0\)
שלב 3: נפתור: \((x + 4)(x - 3) = 0\)
\(x = -4\) או \(x = 3\)
שלב 4: נמצא y:
x = -4: y = -4 + 1 = -3
x = 3: y = 3 + 1 = 4
תשובה: (-4, -3) ו-(3, 4)
✏️ דוגמה 2 - ישר משיק (נקודה אחת)
שאלה: מצאו חיתוך של \(y = x + 5\) עם \(x^2 + y^2 = 12.5\)
נציב:
\(x^2 + (x + 5)^2 = 12.5\)
\(x^2 + x^2 + 10x + 25 = 12.5\)
\(2x^2 + 10x + 12.5 = 0\)
דיסקרימיננטה: \(\Delta = 100 - 4 \cdot 2 \cdot 12.5 = 100 - 100 = 0\)
\(x = \frac{-10}{4} = -2.5\)
\(y = -2.5 + 5 = 2.5\)
תשובה: נקודת השקה (-2.5, 2.5)
הישר משיק למעגל!
✏️ דוגמה 3 - ישר ומעגל זרים (אין חיתוך)
שאלה: מצאו חיתוך של \(y = x + 10\) עם \(x^2 + y^2 = 25\)
נציב:
\(x^2 + (x + 10)^2 = 25\)
\(2x^2 + 20x + 100 = 25\)
\(2x^2 + 20x + 75 = 0\)
דיסקרימיננטה: \(\Delta = 400 - 4 \cdot 2 \cdot 75 = 400 - 600 = -200\)
תשובה: אין נקודות חיתוך!
Δ < 0 → הישר והמעגל זרים
📏 חישוב אורך מיתר
מיתר = קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל
כשישר חותך מעגל ב-2 נקודות, הקטע ביניהן הוא מיתר!
✏️ דוגמה: מצאו את אורך המיתר שנוצר מחיתוך \(y = x + 1\) עם \(x^2 + y^2 = 25\)
מצאנו קודם: נקודות החיתוך הן (-4, -3) ו-(3, 4)
אורך המיתר:
\(d = \sqrt{(3-(-4))^2 + (4-(-3))^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\)
אורך המיתר: \(7\sqrt{2}\)
📝 סיכום
למציאת חיתוך: מציבים משוואת הישר במעגל
Δ > 0 → חותך | Δ = 0 → משיק | Δ < 0 → זרים