גאומטריה אנליטית - משוואת משיק למעגל
גאומטריה אנליטית - המעגל
משוואת משיק למעגל
🎯 מהו משיק?
משיק למעגל הוא ישר הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד.
תכונה חשובה:
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה!
⭐ נוסחת המשיק בנקודה על המעגל
עבור מעגל \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)
משוואת המשיק בנקודה \(P(x_0, y_0)\) על המעגל:
\((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)
💡 מקרה מיוחד - מעגל עם מרכז בראשית:
עבור \(x^2 + y^2 = r^2\), המשיק בנקודה \((x_0, y_0)\):
\(x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2\)
✏️ דוגמה 1 - מעגל עם מרכז בראשית
שאלה: מצאו את משוואת המשיק למעגל \(x^2 + y^2 = 25\) בנקודה (3, 4).
בדיקה: האם (3, 4) על המעגל?
\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) ✓
פתרון: נציב בנוסחה \(x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = r^2\):
\(3x + 4y = 25\)
משוואת המשיק: \(3x + 4y = 25\)
✏️ דוגמה 2 - מעגל עם מרכז כללי
שאלה: מצאו את משוואת המשיק למעגל \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25\) בנקודה (5, 7).
נתונים: מרכז (2, 3), רדיוס 5, נקודת השקה (5, 7)
בדיקה: \((5-2)^2 + (7-3)^2 = 9 + 16 = 25\) ✓
פתרון: נציב בנוסחה:
\((5 - 2)(x - 2) + (7 - 3)(y - 3) = 25\)
\(3(x - 2) + 4(y - 3) = 25\)
\(3x - 6 + 4y - 12 = 25\)
\(3x + 4y = 43\)
משוואת המשיק: \(3x + 4y = 43\)
🔄 שיטה חלופית - שימוש בניצבות
הרעיון: המשיק מאונך לרדיוס, אז נמצא את שיפוע הרדיוס ונהפוך אותו!
✏️ דוגמה: מצאו משיק למעגל \(x^2 + y^2 = 25\) בנקודה (3, 4)
שלב 1: שיפוע הרדיוס מ-(0,0) ל-(3,4):
\(m_r = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}\)
שלב 2: שיפוע המשיק (ניצב לרדיוס):
\(m_t = -\frac{1}{m_r} = -\frac{3}{4}\)
שלב 3: משוואת המשיק (נקודה-שיפוע):
\(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\)
\(4y - 16 = -3x + 9\)
\(3x + 4y = 25\)
אותה תוצאה! \(3x + 4y = 25\)
📐 משיקים אופקיים ואנכיים
למעגל \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\):
- משיקים אופקיים: \(y = b + r\) ו-\(y = b - r\)
- משיקים אנכיים: \(x = a + r\) ו-\(x = a - r\)
📝 סיכום
נוסחת משיק: \((x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2\)
מעגל בראשית: \(x_0 x + y_0 y = r^2\)
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה!