גאומטריה אנליטית - חיתוך בין מעגלים ומעגלים משיקים
גאומטריה אנליטית - המעגל
חיתוך בין מעגלים ומעגלים משיקים
🎯 המצבים האפשריים בין שני מעגלים
⭐ הקשר בין מרחק המרכזים לרדיוסים
נסמן: \(d\) = מרחק בין המרכזים, \(r_1, r_2\) = הרדיוסים
| מצב | תנאי | נקודות חיתוך |
|---|---|---|
| נחתכים | \(|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2\) | 2 |
| משיקים מבחוץ | \(d = r_1 + r_2\) | 1 |
| משיקים מבפנים | \(d = |r_1 - r_2|\) | 1 |
| זרים מבחוץ | \(d > r_1 + r_2\) | 0 |
| אחד בתוך השני | \(d < |r_1 - r_2|\) | 0 |
✏️ דוגמה - קביעת היחס בין מעגלים
שאלה: מה היחס בין המעגלים:
\(x^2 + y^2 = 16\) ו-\((x - 5)^2 + y^2 = 9\)
שלב 1: נזהה מרכזים ורדיוסים:
מעגל 1: מרכז (0, 0), רדיוס \(r_1 = 4\)
מעגל 2: מרכז (5, 0), רדיוס \(r_2 = 3\)
שלב 2: נחשב את המרחק בין המרכזים:
\(d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5\)
שלב 3: נבדוק:
\(r_1 + r_2 = 4 + 3 = 7\)
\(|r_1 - r_2| = |4 - 3| = 1\)
מתקיים: \(1 < 5 < 7\)
תשובה: המעגלים נחתכים בשתי נקודות
🔍 מציאת נקודות החיתוך בין מעגלים
השיטה: נחסר משוואה ממשוואה כדי לקבל ישר, ואז נפתור ישר עם מעגל!
✏️ דוגמה: מצאו את נקודות החיתוך של:
\(x^2 + y^2 = 25\) ... (1)
\((x - 4)^2 + y^2 = 9\) ... (2)
שלב 1: נפתח את משוואה (2):
\(x^2 - 8x + 16 + y^2 = 9\)
\(x^2 + y^2 = 8x - 7\)
שלב 2: נציב ממשוואה (1): \(x^2 + y^2 = 25\)
\(25 = 8x - 7\)
\(8x = 32\)
\(x = 4\)
שלב 3: נציב x = 4 במעגל (1):
\(16 + y^2 = 25\)
\(y^2 = 9\)
\(y = \pm 3\)
תשובה: נקודות החיתוך: (4, 3) ו-(4, -3)
⭕ מעגלים משיקים - דוגמאות
דוגמה 1 - משיקים מבחוץ:
מעגל 1: מרכז (0, 0), רדיוס 3
מעגל 2: מרכז (7, 0), רדיוס 4
d = 7, \(r_1 + r_2 = 3 + 4 = 7\)
d = r₁ + r₂ → משיקים מבחוץ
דוגמה 2 - משיקים מבפנים:
מעגל 1: מרכז (0, 0), רדיוס 5
מעגל 2: מרכז (2, 0), רדיוס 3
d = 2, \(|r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2\)
d = |r₁ - r₂| → משיקים מבפנים
📝 סיכום
משיקים מבחוץ: \(d = r_1 + r_2\)
משיקים מבפנים: \(d = |r_1 - r_2|\)
למציאת נקודות חיתוך: חסרו משוואות!