שלושה כפרים רוצים לבנות בית חולים משותף.

איפה כדאי לבנות אותו כך שהמרחק מכל שלושת הכפרים יהיה שווה?

🏥 התשובה: במרכז המעגל שעובר דרך שלושת הכפרים!

אבל איך מוצאים את הנקודה הזו? בדיוק בשביל זה נלמד על אנך אמצעי.

הגדרה: אנך אמצעי לקטע הוא ישר ש:

1. עובר דרך אמצע הקטע (נקודה M)
2. מאונך לקטע (יוצר זווית 90°)

כל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחקים שווים מקצות הקטע

💡 במילים פשוטות:

אם P נמצאת על האנך האמצעי של AB, אז: PA = PB

📝 הוכחה:

נתון: P על האנך האמצעי של AB, M אמצע AB

נוכיח: PA = PB

נסתכל על המשולשים △PMA ו-△PMB:

• MA = MB (M אמצע הקטע - נתון)
• ∠PMA = ∠PMB = 90° (אנך - נתון)
• PM = PM (צלע משותפת)

לכן: △PMA ≅ △PMB (צ.ז.צ.)

מסקנה: PA = PB (צלעות מתאימות במשולשים חופפים) ✓

כל נקודה במרחקים שווים מקצות קטע - נמצאת על האנך האמצעי

💡 במילים פשוטות:

אם PA = PB, אז P נמצאת על האנך האמצעי של AB

📝 הוכחה:

נתון: PA = PB, נסמן M = אמצע AB

נוכיח: PM ⊥ AB

נסתכל על המשולשים △PMA ו-△PMB:

• PA = PB (נתון)
• MA = MB (הגדרת אמצע)
• PM = PM (צלע משותפת)

לכן: △PMA ≅ △PMB (צ.צ.צ.)

מסקנה: ∠PMA = ∠PMB (זוויות מתאימות)

מכיוון שהן צמודות וסכומן 180°: ∠PMA = ∠PMB = 90°

לכן PM ⊥ AB, כלומר P על האנך האמצעי ✓

האנך האמצעי הוא אוסף כל הנקודות

שנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע!

🌍 דוגמה מהחיים:

שני חברים גרים בשני קצוות של רחוב ורוצים להיפגש במקום שהמרחק מכל אחד מהם שווה.

הם יכולים להיפגש בכל נקודה על האנך האמצעי של הקטע שמחבר את הבתים שלהם!