גאומטריה - משיק למעגל
מעגל - חלק ד'
משיק למעגל
📐 מהו משיק למעגל?
משיק = ישר שנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד
נקודת המגע נקראת נקודת ההשקה
⭐ משפט מרכזי: משיק ⊥ רדיוס
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
💡 במילים אחרות:
אם t משיק למעגל בנקודה T, ו-O מרכז המעגל
אז: OT ⊥ t
ההפוך: ישר המאונך לרדיוס בקצהו - הוא משיק!
⭐ משפט: שני משיקים מנקודה חיצונית
שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה - שווים!
PA = PB
📝 הוכחה:
במשולשים △OAP ו-△OBP:
- OA = OB = r (רדיוסים)
- ∠OAP = ∠OBP = 90° (משיק ⊥ רדיוס)
- OP = OP (צלע משותפת)
לכן △OAP ≅ △OBP (צ.ז. במשולש ישר זווית)
מסקנה: PA = PB ✓
📐 משפט נוסף
קטע המחבר את מרכז המעגל לנקודה שממנה יוצאים שני משיקים - חוצה את הזווית שבין המשיקים!
💡 זה נובע מהחפיפה:
∠APO = ∠BPO (זוויות מתאימות במשולשים חופפים)
⭐ משפט: זווית בין משיק ומיתר
זווית בין משיק ומיתר = זווית היקפית על המיתר מהצד השני
💡 בשרטוט: ∠ATמשיק = ∠ACT
🌍 דוגמאות מהחיים
🚗 גלגל על כביש:
הכביש הוא משיק לגלגל! נקודת המגע עם הכביש מאונכת לרדיוס.
⚽ בעיטת כדור:
כשהרגל נוגעת בכדור, היא משיקה לו - והכוח מועבר בניצב לכדור!
🌍 אופק:
קו האופק הוא משיק לכדור הארץ מנקודת התצפית שלנו.
📝 סיכום דף 12
משיק ⊥ רדיוס בנקודת ההשקה
שני משיקים מנקודה חיצונית שווים
זווית משיק-מיתר = זווית היקפית מהצד השני