שלושת המשפטים הבאים עוסקים במכפלות קטעים במעגל.

הם קשורים לדמיון משולשים, אבל אפשר להשתמש בהם ישירות!

AP · PB = CP · PD

מכפלת קטעי מיתר אחד = מכפלת קטעי המיתר השני

📝 הוכחה (רעיון):

נחבר AC ו-BD

∠PAC = ∠PDB (זוויות היקפיות על אותה קשת BC)

∠APC = ∠DPB (זוויות קדקודיות)

לכן △APC ~ △DPB (ז.ז.)

מיחס הדמיון: AP/DP = CP/PB

לכן: AP · PB = CP · PD ✓

✏️ דוגמה:

AP = 4, PB = 6, CP = 3. מהו PD?

4 × 6 = 3 × PD

24 = 3 × PD

PD = 8

PA · PB = PC · PD

מכפלת חותך בחלקו החיצוני = מכפלת החותך השני בחלקו החיצוני

💡 שימו לב:

PA = החלק הקרוב (מ-P לנקודה הראשונה על המעגל)

PB = כל האורך (מ-P לנקודה הרחוקה על המעגל)

✏️ דוגמה:

PA = 4, AB = 5 (אז PB = 9), PC = 3. מהו CD?

4 × 9 = 3 × PD

36 = 3 × PD → PD = 12

CD = PD - PC = 12 - 3 = 9

PA · PB = PT²

מכפלת החותך בחלקו החיצוני = ריבוע המשיק

💡 זה מקרה פרטי של משפט 2:

כשהחותך הופך למשיק, שתי נקודות החיתוך מתלכדות!

PC = PD = PT

אז PA · PB = PC · PD = PT · PT = PT²

✏️ דוגמה:

PA = 4, PB = 9. מהו אורך המשיק PT?

PT² = 4 × 9 = 36

PT = 6

📷 עדשות מצלמה:

עקרונות אלה משמשים בתכנון עדשות וראי - לחשב איפה האור יתמקד.

🎯 ביליארד:

שולחן ביליארד עגול (כן, יש כאלה!) - חוקי הזריקה מבוססים על עקרונות דומים.