מרובע חסום במעגל = כל 4 הקודקודים על המעגל

(נקרא גם: מרובע ציקלי / מרובע מעגלי)

מרובע חסום במעגל ⟺ סכום זוויות נגדיות = 180°

💡 במילים אחרות:

α + γ = 180° וגם β + δ = 180°

📝 הוכחה (כיוון אחד):

נתון: ABCD חסום במעגל

נוכיח: ∠A + ∠C = 180°

• ∠A היא זווית היקפית הנשענת על קשת BCD
• ∠C היא זווית היקפית הנשענת על קשת BAD
• קשת BCD + קשת BAD = המעגל השלם = 360°
• זווית היקפית = ½ הקשת
• לכן: ∠A + ∠C = ½(קשת BCD) + ½(קשת BAD) = ½ × 360° = 180° ✓

⚠️ חשוב: זה עובד לשני הכיוונים!

אם נתון ש-α + γ = 180° → אפשר לחסום את המרובע במעגל

אם המרובע חסום במעגל → בטוח ש-α + γ = 180°

מרובע חוסם מעגל = כל 4 הצלעות משיקות למעגל

(המעגל נוגע בכל צלע מבפנים)

מרובע קמור חוסם מעגל ⟺ סכום צלעות נגדיות שווה

💡 במילים אחרות:

a + c = b + d

📝 הוכחה (למה זה עובד):

נזכר: שני משיקים מאותה נקודה למעגל שווים!

נסמן את קטעי המשיקים מכל קודקוד:

• מ-A: קטעים p, p
• מ-B: קטעים q, q
• מ-C: קטעים r, r
• מ-D: קטעים s, s

אז:

• a = p + q
• b = q + r
• c = r + s
• d = s + p

a + c = (p+q) + (r+s) = p + q + r + s

b + d = (q+r) + (s+p) = p + q + r + s

לכן a + c = b + d ✓

האם מלבן ניתן לחסום במעגל?

כן! כל זווית = 90°, זוויות נגדיות = 90° + 90° = 180° ✓

האם מעוין ניתן לחסום במעגל?

רק אם הוא ריבוע! (אחרת הזוויות הנגדיות לא מסתכמות ל-180°)

האם מעוין יכול לחסום מעגל?

כן! כל הצלעות שוות, אז a = b = c = d, ובטוח a + c = b + d ✓