גאומטריה - זוויות מרכזיות, קשתות ומיתרים
מעגל - חלק ב'
זוויות מרכזיות, קשתות ומיתרים
📐 מהי זווית מרכזית?
זווית מרכזית = זווית שקודקודה במרכז המעגל
השוקיים הם רדיוסים של המעגל
⭐ הקשר המשולש: זווית ↔ קשת ↔ מיתר
שלושת האלמנטים האלה קשורים זה בזה:
- זוויות מרכזיות שוות ↔ קשתות שוות ↔ מיתרים שווים
📐 משפט: זוויות מרכזיות וקשתות
במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות ⟺ הקשתות המתאימות שוות
💡 הסבר אינטואיטיבי:
הזווית המרכזית "פותחת" קשת מסוימת על המעגל.
ככל שהזווית גדולה יותר - הקשת ארוכה יותר!
📝 הוכחה:
אורך קשת = (α/360°) × 2πr
אם α₁ = α₂ → אורך קשת₁ = אורך קשת₂ ✓
📐 משפט: זוויות מרכזיות ומיתרים
במעגל, שתי זוויות מרכזיות שוות ⟺ המיתרים המתאימים שווים
📝 הוכחה:
נתונות שתי זוויות מרכזיות שוות: ∠AOB = ∠COD
במשולשים △AOB ו-△COD:
- OA = OC = r (רדיוסים)
- OB = OD = r (רדיוסים)
- ∠AOB = ∠COD (נתון)
לכן △AOB ≅ △COD (צ.ז.צ.)
מסקנה: AB = CD (צלעות מתאימות) ✓
📐 משפט: קשתות ומיתרים
במעגל, מיתרים שווים ⟺ הקשתות המתאימות שוות
💡 זה נובע ישירות משני המשפטים הקודמים!
מיתרים שווים → זוויות מרכזיות שוות → קשתות שוות
📊 טבלת סיכום
| אם ידוע ש... | אז גם... |
|---|---|
| זוויות מרכזיות שוות | קשתות שוות, מיתרים שווים |
| קשתות שוות | זוויות מרכזיות שוות, מיתרים שווים |
| מיתרים שווים | זוויות מרכזיות שוות, קשתות שוות |
⚠️ חשוב: כל זה נכון באותו מעגל או במעגלים שווים!
🌍 דוגמה מהחיים
🍕 פיצה:
כשחותכים פיצה ל-8 משולשים שווים:
- כל זווית מרכזית = 360°/8 = 45°
- כל הקשתות (הקראסט) שוות באורכן
- כל המיתרים (הקצוות הישרים) שווים
🎯 מטרה:
אם רוצים לחלק מטרה לאזורים שווים - כל הזוויות המרכזיות צריכות להיות שוות!
📝 סיכום דף 6
זווית מרכזית = קודקודה במרכז המעגל
זוויות שוות ↔ קשתות שוות ↔ מיתרים שווים
(באותו מעגל או במעגלים שווים)