גאומטריה - זווית היקפית וזווית מרכזית
מעגל - חלק ג'
זווית היקפית וזווית מרכזית
📐 הגדרות
| זווית מרכזית | זווית היקפית |
|---|---|
| קודקוד במרכז המעגל | קודקוד על המעגל |
| שוקיים = רדיוסים | שוקיים = מיתרים |
⭐ המשפט החשוב ביותר!
זווית היקפית = ½ זווית מרכזית
(על אותה קשת)
💡 במילים אחרות:
הזווית ההיקפית היא חצי מהזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
או: הזווית המרכזית היא כפול הזווית ההיקפית
📝 הוכחה (מקרה פשוט)
מקרה: אחת משוקי הזווית ההיקפית היא קוטר
נסמן: C על המעגל, O מרכז, CO קוטר
נסמן ∠ACO = α
במשולש △AOC:
- OA = OC = r (רדיוסים)
- לכן △AOC שווה שוקיים
- לכן ∠OAC = ∠OCA = α
∠AOB היא זווית חיצונית ל-△AOC:
∠AOB = ∠OAC + ∠OCA = α + α = 2α
מסקנה: הזווית המרכזית = 2 × הזווית ההיקפית ✓
💎 מסקנות חשובות
1. כל הזוויות ההיקפיות על אותה קשת שוות!
לא משנה איפה הקודקוד על המעגל (מאותו צד)
2. זוויות היקפיות שוות ⟺ קשתות/מיתרים שווים
3. זוויות היקפיות על אותו מיתר (מאותו צד) שוות!
✏️ דוגמה
שאלה: זווית מרכזית = 80°. מהי הזווית ההיקפית על אותה קשת?
פתרון:
זווית היקפית = ½ × זווית מרכזית = ½ × 80° = 40°
שאלה: זווית היקפית = 35°. מהי הזווית המרכזית על אותה קשת?
פתרון:
זווית מרכזית = 2 × זווית היקפית = 2 × 35° = 70°
📝 סיכום דף 9
היקפית = ½ מרכזית
כל ההיקפיות על אותה קשת שוות
זה המשפט הכי חשוב בפרק!