גאומטריה משפטים - משפט תאלס ודמיון משולשים
משפטים בגאומטריה
דף 11: משפט תאלס ודמיון משולשים
⭐ משפט תאלס (ניתן לצטט בשם!)
שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית - מקצים עליהם קטעים פרופורציוניים
\(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\)
💡 הסבר:
קווים מקבילים "חותכים" את הזווית באופן פרופורציונלי - היחסים נשמרים!
📐 משפט תאלס המורחב (ניתן לצטט בשם!)
ישר המקביל לצלע משולש חותך את שתי הצלעות האחרות בקטעים פרופורציוניים
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
🔄 משפט תאלס ההפוך (ניתן לצטט בשם!)
שני ישרים המקצים על שוקי זווית ארבעה קטעים פרופורציוניים - הם ישרים מקבילים
💡 שימוש:
רוצים להוכיח הקבלה? הראו שהיחסים שווים!
✂️ משפט חוצה הזווית (ניתן לצטט בשם!)
חוצה זווית פנימית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס הצלעות הכולאות
\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)
⭐ משפטי דמיון (ניתן לצטט בשם!)
משולשים דומים = אותה צורה, גדלים שונים (כל הזוויות שוות, היחס בין הצלעות קבוע)
דמיון ז.ז.
שני משולשים שבהם שתי זוויות שוות - דומים
(הזווית השלישית גם תהיה שווה - סכום זוויות 180°)
דמיון צ.ז.צ.
שני משולשים שבהם יחס שתי צלעות שווה והזווית ביניהן שווה - דומים
דמיון צ.צ.צ.
שני משולשים שבהם יחס כל הצלעות המתאימות שווה - דומים
📊 תכונות משולשים דומים
אם יחס הדמיון הוא k, אז:
- יחס צלעות מתאימות = k
- יחס גבהים מתאימים = k
- יחס תיכונים מתאימים = k
- יחס חוצי זוויות = k
- יחס היקפים = k
- יחס רדיוסי מעגלים חוסמים/חסומים = k
- יחס שטחים = k²
📝 סיכום דף 11
תאלס: מקבילים → קטעים פרופורציוניים
חוצה זווית: מחלק ביחס הצלעות
דמיון: ז.ז. | צ.ז.צ. | צ.צ.צ.
יחס שטחים = ריבוע יחס הדמיון