גאומטריה משפטים - מיתרים וחותכים במעגל, מצולעים
משפטים בגאומטריה
דף 12: מיתרים וחותכים במעגל, מצולעים
✖️ שני מיתרים נחתכים
אם שני מיתרים נחתכים בתוך המעגל:
AP · PB = CP · PD
מכפלת קטעי מיתר אחד = מכפלת קטעי המיתר השני
➡️ שני חותכים מנקודה חיצונית
אם שני חותכים יוצאים מנקודה חיצונית:
PA · PB = PC · PD
מכפלת חותך בחלקו החיצוני = מכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
↗️ חותך ומשיק מנקודה חיצונית
אם מנקודה חיצונית יוצאים חותך ומשיק:
PA · PB = PT²
מכפלת החותך בחלקו החיצוני = ריבוע המשיק
📐 ממוצע הנדסי במשולש ישר זווית
משפט 1:
הניצב הוא ממוצע הנדסי של היתר והיטל ניצב זה על היתר
\(AB^2 = BD \cdot BC\)
משפט 2:
הגובה ליתר הוא ממוצע הנדסי של היטלי הניצבים על היתר
\(AD^2 = BD \cdot DC\)
🔷 מצולעים
סכום זוויות פנימיות במצולע קמור:
(n-2) × 180°
כאשר n = מספר הצלעות
דוגמאות:
- משולש (n=3): (3-2)×180° = 180°
- מרובע (n=4): (4-2)×180° = 360°
- מחומש (n=5): (5-2)×180° = 540°
- משושה (n=6): (6-2)×180° = 720°
מרובע חסום במעגל:
מרובע חסום במעגל ↔ סכום זוויות נגדיות = 180°
מרובע חוסם מעגל:
מרובע קמור חוסם מעגל ↔ סכום צלעות נגדיות שווה
AB + CD = BC + DA
מצולע משוכלל:
כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל ולחסום בו מעגל
📝 סיכום דף 12
מיתרים נחתכים: AP·PB = CP·PD
חותכים: PA·PB = PC·PD
חותך+משיק: PA·PB = PT²
זוויות מצולע: (n-2)×180°