גאומטריה של המישור - סיכום כללי ויישומים
גאומטריה של המישור
דף 10: סיכום כללי ויישומים
📐 חלק א': קווים מיוחדים במשולש
| קו | הגדרה | נקודת מפגש | תכונה מיוחדת |
|---|---|---|---|
| תיכון | מקודקוד לאמצע הצלע | מרכז כובד (G) | מחלק 2:1, חולק לשטחים שווים |
| חוצה זווית | חוצה את הזווית לשניים | מרכז מעגל חסום (I) | מקום גיאומטרי, BD/DC=AB/AC |
| אנך אמצעי | מאמצע הצלע, ניצב לה | מרכז מעגל חוסם (O) | מקום גיאומטרי, OA=OB=OC |
| גובה | מקודקוד, ניצב לצלע | אורתוצנטר (H) | משתנה לפי סוג המשולש |
💡 זכרו: במשולש שווה-צלעות כל 4 הקווים מתלכדים!
במשולש שווה-שוקיים: הקווים לבסיס מתלכדים.
📐 חלק ב': דמיון משולשים
שלושת משפטי הדמיון:
+ זווית כלואה
יחסים במשולשים דומים (k = יחס דמיון):
גבהים, תיכונים,
חוצי זווית
✏️ תרגיל מסכם 1: קווים מיוחדים
שאלה: במשולש ABC, התיכונים הם AM, BN, CP ונחתכים בנקודה G.
אם AM = 18 ס"מ, מהו אורך הקטע AG?
פתרון:
נקודת מפגש התיכונים מחלקת כל תיכון ביחס 2:1.
AG = ⅔ × AM = ⅔ × 18 = 12 ס"מ
✏️ תרגיל מסכם 2: דמיון משולשים
שאלה: בשרטוט, DE || BC.
AD = 5, DB = 10, AE = 4.
מצאו את EC ואת יחס השטחים SADE/SABC.
פתרון:
שלב 1: הוכחת דמיון
∠A משותפת, ∠ADE = ∠ABC (מתאימות)
לפי ז.ז.: △ADE ~ △ABC
שלב 2: יחס הדמיון
k = AB/AD = (5+10)/5 = 15/5 = 3
שלב 3: מציאת EC
AC/AE = k → AC = 3 × 4 = 12
EC = AC - AE = 12 - 4 = 8
שלב 4: יחס השטחים
SADE/SABC = 1/k² = 1/9 = 1:9
✏️ תרגיל מסכם 3: חוצה זווית
שאלה: במשולש ABC, AB = 10, AC = 15, BC = 20.
חוצה הזווית מ-A פוגש את BC בנקודה D.
מצאו את BD ו-DC.
פתרון:
לפי משפט חוצה זווית: BD/DC = AB/AC = 10/15 = 2/3
נסמן BD = 2x, DC = 3x
BD + DC = BC
2x + 3x = 20
5x = 20 → x = 4
BD = 8, DC = 12
🌍 יישומים מהחיים האמיתיים
🗺️ מפות וניווט
מפה היא הקטנה של המציאות - דמיון! קנה מידה = יחס דמיון.
📷 צילום והגדלה
הגדלת תמונה פי 2 = צריך פי 4 נייר (k²)!
🏗️ אדריכלות
מודל בניין = דמיון. מרכז כובד = נקודת איזון.
🌳 מדידת גובה
צללים יוצרים משולשים דומים - מודדים עץ בלי לטפס!
💡 טיפים למבחן
- זהו את סוג השאלה: קווים מיוחדים או דמיון?
- שרטטו! גם אם יש שרטוט, סמנו עליו את הנתונים.
- בדמיון - בחרו את המשפט הנכון: ז.ז. לזוויות, צ.צ.צ./צ.ז.צ. לצלעות.
- שימו לב לסדר הכתיבה: △ABC ~ △DEF - הסדר קובע התאמה!
- זכרו: אורכים → k, שטחים → k²
- בחוצה זווית: BD/DC = AB/AC (ולא להתבלבל בסדר!)
- בתיכון: יחס 2:1 - הגדול קרוב לקודקוד.
🎓 סיום הפרק - גאומטריה של המישור
למדנו:
✓ 4 קווים מיוחדים: תיכון, חוצה זווית, אנך אמצעי, גובה
✓ 4 נקודות מפגש מיוחדות
✓ 3 משפטי דמיון: ז.ז., צ.צ.צ., צ.ז.צ.
✓ יחסים בדמיון: היקף, שטח, קווים מיוחדים
🌟 בהצלחה! 🌟