גאומטריה של המישור - אנכים אמצעיים
גאומטריה של המישור
דף 4: אנכים אמצעיים
📖 הגדרה
אנך אמצעי לקטע הוא ישר ש:
1️⃣ עובר באמצע הקטע
2️⃣ מאונך (ניצב) לקטע
M אמצע AB והאנך מאונך ל-AB
⭐ משפט 1: האנך האמצעי כמקום גיאומטרי
האנך האמצעי לקטע הוא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות
הנמצאות במרחקים שווים מקצות הקטע.
🎯 מה זה אומר?
- כל נקודה על האנך האמצעי → מרחקים שווים מ-A ומ-B
- כל נקודה שמרחקיה שווים מ-A ומ-B → נמצאת על האנך האמצעי
💡 דוגמה: איפה לבנות בית שיהיה במרחק שווה משני כבישים מקבילים?
תשובה: על הקו האמצעי ביניהם (שזה בעצם "אנך אמצעי" לכל קטע מאונך שמחבר בין הכבישים).
⭐ משפט 2: שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת
שלושת האנכים האמצעיים לצלעות המשולש נחתכים בנקודה אחת.
🎯 למה זה מיוחד?
נקודה O נמצאת על האנכים האמצעיים, לכן:
- מרחק O מ-A = מרחק O מ-B (כי O על האנך האמצעי ל-AB)
- מרחק O מ-B = מרחק O מ-C (כי O על האנך האמצעי ל-BC)
- לכן: OA = OB = OC
→ אפשר לצייר מעגל חוסם שמרכזו O ושעובר דרך שלושת הקודקודים!
🔄 השוואה: מעגל חסום מול מעגל חוסם
| מעגל חסום (פנימי) | מעגל חוסם (חיצוני) | |
|---|---|---|
| מרכז | מפגש חוצי הזוויות (I) | מפגש האנכים האמצעיים (O) |
| מיקום | תמיד בתוך המשולש | יכול להיות גם מחוץ (במשולש קהה) |
| המעגל נוגע ב... | שלוש הצלעות (מבפנים) | שלושת הקודקודים |
| הרדיוס | מרחק מהמרכז לצלעות | מרחק מהמרכז לקודקודים |
🌍 דוגמה מהחיים
📍 הצבת אנטנת סלולר:
יש שלוש עיירות A, B, C. רוצים להציב אנטנה שתהיה במרחק שווה משלושתן.
הפתרון: מציירים את האנכים האמצעיים ומוצאים את נקודת המפגש O. שם צריך לשים את האנטנה!
🏥 בית חולים אזורי: אותו רעיון - איפה לבנות בית חולים שיהיה במרחק שווה משלוש שכונות?
📝 סיכום דף 4 - אנכים אמצעיים
הגדרה: ישר העובר באמצע קטע ומאונך לו
מקום גיאומטרי: נקודות במרחקים שווים מקצות הקטע
מפגש: 3 אנכים אמצעיים נפגשים בנקודה אחת = מרכז מעגל חוסם
תכונה: OA = OB = OC (מרחקים שווים לקודקודים)