גאומטריה של המישור - מהו דמיון משולשים?
גאומטריה של המישור
דף 6: מהו דמיון משולשים?
🤔 מה זה "דומה"?
בחיי היום-יום, כשאומרים ש"שני דברים דומים" - מתכוונים שהם נראים אותו דבר, אבל לא בהכרח באותו גודל.
דוגמאות:
- 🗺️ מפה וארץ אמיתית - אותה צורה, גודל שונה
- 📷 תמונה מוקטנת/מוגדלת - אותן פרופורציות
- 👕 חולצה S, M, L - אותו דגם, מידות שונות
- 🏠 מודל ובניין - אדריכל בונה מודל קטן לפני הבניין האמיתי
📖 הגדרה מתמטית
שני משולשים נקראים דומים אם:
1️⃣ כל הזוויות המתאימות שוות
2️⃣ כל הצלעות המתאימות ביחס קבוע (יחס הדמיון)
סימון: △ABC ~ △A'B'C' (הסימן ~ אומר "דומה ל-")
📐 יחס הדמיון (k)
יחס הדמיון הוא המספר הקבוע שמקשר בין הצלעות המתאימות:
k = A'B'/AB = B'C'/BC = A'C'/AC
פירוש:
- אם k = 2 → המשולש הגדול גדול פי 2 מהקטן
- אם k = 0.5 → המשולש הגדול קטן פי 2 מהקטן (למעשה הוא הקטן!)
- אם k = 1 → המשולשים חופפים (אותו גודל בדיוק)
💡 דוגמה מספרית:
במשולש ABC: AB = 3, BC = 4, AC = 5
במשולש A'B'C': A'B' = 6, B'C' = 8, A'C' = 10
יחס הדמיון: k = 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2
המשולש הגדול גדול פי 2!
⚖️ דמיון מול חפיפה - מה ההבדל?
| חפיפה (≅) | דמיון (~) | |
|---|---|---|
| זוויות | שוות | שוות |
| צלעות | שוות בדיוק | ביחס קבוע |
| גודל | אותו גודל | יכול להיות שונה |
| צורה | זהה | זהה |
| יחס דמיון | k = 1 | k יכול להיות כל מספר חיובי |
💡 מסקנה: חפיפה היא מקרה פרטי של דמיון (כש-k = 1)
🔍 איך מזהים צלעות וזוויות מתאימות?
הכלל: הסדר בסימון △ABC ~ △DEF קובע את ההתאמה!
אם △ABC ~ △DEF אז:
- ∠A = ∠D (קודקודים ראשונים)
- ∠B = ∠E (קודקודים שניים)
- ∠C = ∠F (קודקודים שלישיים)
וגם:
- AB מתאימה ל-DE
- BC מתאימה ל-EF
- AC מתאימה ל-DF
⚠️ חשוב: אם כותבים △ABC ~ △DEF זה שונה מ-△ABC ~ △EDF!
הסדר משנה כי הוא קובע מי מתאים למי.
✏️ דוגמה מספרית
נתון: △ABC ~ △DEF כאשר:
AB = 4, BC = 6, AC = 8
DE = 6
מצאו את EF ו-DF.
פתרון:
שלב 1: מצאו את יחס הדמיון
AB מתאימה ל-DE, לכן: k = DE/AB = 6/4 = 1.5
שלב 2: חישוב הצלעות
EF/BC = k → EF = k × BC = 1.5 × 6 = 9
DF/AC = k → DF = k × AC = 1.5 × 8 = 12
תשובה: EF = 9, DF = 12
📝 סיכום דף 6 - מהו דמיון?
דמיון: אותה צורה, גודל יכול להיות שונה
תנאים: זוויות שוות + צלעות ביחס קבוע
יחס דמיון k: הכפלה קבועה של כל הצלעות
חפיפה = דמיון עם k = 1