גאומטריה של המישור - משפטי דמיון צ.צ.צ. ו-צ.ז.צ
גאומטריה של המישור
דף 8: משפטי דמיון צ.צ.צ. ו-צ.ז.צ.
📚 שלושת משפטי הדמיון
יש שלושה משפטי דמיון שמאפשרים להוכיח שמשולשים דומים:
⭐ משפט דמיון צ.צ.צ. (צלע-צלע-צלע)
אם שלוש צלעות של משולש אחד מתייחסות
באותו יחס לשלוש צלעות של משולש שני,
אז המשולשים דומים.
DE/AB = EF/BC = DF/AC = k
↓
△ABC ~ △DEF
💡 בדוגמה:
12/6 = 10/5 = 8/4 = 2
כל הצלעות ביחס 2 → המשולשים דומים!
✏️ דוגמה: שימוש בצ.צ.צ.
שאלה: האם המשולשים דומים?
משולש ABC: AB = 9, BC = 12, AC = 15
משולש DEF: DE = 6, EF = 8, DF = 10
פתרון:
נבדוק את היחסים בין צלעות מתאימות:
AB/DE = 9/6 = 1.5
BC/EF = 12/8 = 1.5
AC/DF = 15/10 = 1.5
כל היחסים שווים! לפי צ.צ.צ.: △ABC ~ △DEF עם יחס דמיון k = 1.5
⭐ משפט דמיון צ.ז.צ. (צלע-זווית-צלע)
אם שתי צלעות של משולש אחד מתייחסות
באותו יחס לשתי צלעות מתאימות במשולש השני,
והזווית שבין הצלעות שווה,
אז המשולשים דומים.
AB/DE = AC/DF וגם ∠A = ∠D
↓
△ABC ~ △DEF
⚠️ חשוב: הזווית חייבת להיות הזווית הכלואה בין שתי הצלעות!
זווית אחרת לא תעבוד.
✏️ דוגמה: שימוש בצ.ז.צ.
שאלה: במשולש ABC: AB = 8, AC = 12, ∠A = 50°
במשולש DEF: DE = 4, DF = 6, ∠D = 50°
הוכיחו שהמשולשים דומים ומצאו את יחס הדמיון.
פתרון:
בדיקת יחס הצלעות הכולאות את הזווית:
AB/DE = 8/4 = 2
AC/DF = 12/6 = 2
בדיקת הזווית הכלואה:
∠A = ∠D = 50° ✓
לפי צ.ז.צ.: △ABC ~ △DEF
יחס הדמיון: k = 2
📊 טבלת השוואה: שלושת משפטי הדמיון
| משפט | מה צריך לבדוק? | מתי נשתמש? |
|---|---|---|
| ז.ז. | 2 זוויות שוות | יש מידע על זוויות, קווים מקבילים, זווית משותפת |
| צ.צ.צ. | 3 זוגות צלעות ביחס שווה | יש מידע על כל 6 הצלעות |
| צ.ז.צ. | 2 צלעות ביחס + זווית ביניהן | יש 2 זוגות צלעות + הזווית הכלואה |
💡 טיפ: בחרו את המשפט לפי המידע שנתון לכם בשאלה!
🔄 דמיון מול חפיפה - השוואת המשפטים
| חפיפה | דמיון |
|---|---|
| צ.ז.צ. - צלעות שוות | צ.ז.צ. - צלעות ביחס |
| ז.צ.ז. - צלע שווה | ז.ז. (מספיק 2 זוויות!) |
| צ.צ.צ. - צלעות שוות | צ.צ.צ. - צלעות ביחס |
שימו לב: בדמיון אין משפט ז.צ.ז.!
הסיבה: בדמיון לא מספיק לדעת שצלע אחת ביחס - צריך לפחות שתיים.
📝 סיכום דף 8 - צ.צ.צ. וצ.ז.צ.
צ.צ.צ.: כל 3 הצלעות ביחס שווה → דומים
צ.ז.צ.: 2 צלעות ביחס + זווית כלואה שווה → דומים
בחירת משפט: לפי המידע הנתון בשאלה
ז.ז. הכי נפוץ! צ.צ.צ. ו-צ.ז.צ. כשיש מידע על צלעות