גאומטריה של המישור - יחסים במשולשים דומים
גאומטריה של המישור
דף 9: יחסים במשולשים דומים
🎯 מה נלמד בדף הזה?
כשמשולשים דומים עם יחס דמיון k, מה קורה ל:
- 📏 ההיקפים - מה היחס ביניהם?
- 📐 השטחים - מה היחס ביניהם?
- 📍 הקווים המיוחדים - גבהים, תיכונים, חוצי זווית?
⭐ משפט 1: יחס ההיקפים
במשולשים דומים, יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון.
P'/P = k
🤔 למה זה הגיוני?
היקף = סכום הצלעות. אם כל צלע גדולה פי k, אז גם הסכום גדול פי k!
💡 דוגמה:
משולש קטן: צלעות 3, 4, 5 → היקף = 12
יחס דמיון k = 2
משולש גדול: צלעות 6, 8, 10 → היקף = 24
יחס ההיקפים: 24/12 = 2 = k ✓
⭐ משפט 2: יחס השטחים
במשולשים דומים, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.
S'/S = k²
🤔 למה k בריבוע ולא k?
שטח = בסיס × גובה / 2. גם הבסיס וגם הגובה גדלים פי k, לכן:
S' = (k × בסיס) × (k × גובה) / 2 = k² × S
💡 דוגמה:
משולש קטן: שטח = 6
יחס דמיון k = 3
משולש גדול: שטח = 6 × 3² = 6 × 9 = 54
✏️ דוגמה: חישוב שטח והיקף
שאלה: שני משולשים דומים.
היקף המשולש הקטן = 20 ס"מ, שטחו = 15 סמ"ר.
יחס הדמיון k = 4.
מצאו את ההיקף והשטח של המשולש הגדול.
פתרון:
היקף: P' = k × P = 4 × 20 = 80 ס"מ
שטח: S' = k² × S = 4² × 15 = 16 × 15 = 240 סמ"ר
⭐ משפט 3: יחס הקווים המיוחדים
במשולשים דומים:
1. יחס גבהים מתאימים שווה ליחס הדמיון (k)
2. יחס תיכונים מתאימים שווה ליחס הדמיון (k)
3. יחס חוצי זוויות מתאימות שווה ליחס הדמיון (k)
🤔 למה k ולא k²?
גובה, תיכון וחוצה זווית הם קטעים (אורכים) - לא שטחים!
אורכים גדלים פי k, שטחים גדלים פי k².
📊 טבלת סיכום: יחסים במשולשים דומים
| גודל | יחס | דוגמה (k=3) |
|---|---|---|
| צלעות | k | צלע 4 → צלע 12 |
| גבהים | k | גובה 5 → גובה 15 |
| תיכונים | k | תיכון 6 → תיכון 18 |
| חוצי זווית | k | חוצה 4 → חוצה 12 |
| היקפים | k | היקף 15 → היקף 45 |
| שטחים | k² | שטח 10 → שטח 90 |
🔑 כלל הזהב:
אורכים (1D) → יחס k
שטחים (2D) → יחס k²
🌍 דוגמה מהחיים: הגדלת תמונה
יש לכם תמונה בגודל 4×6 ס"מ ואתם רוצים להגדיל אותה פי 3.
מה יהיו המידות החדשות?
4×3 = 12 ס"מ, 6×3 = 18 ס"מ → תמונה 12×18 ס"מ
כמה נייר צריך?
שטח מקורי: 4×6 = 24 סמ"ר
שטח חדש: 12×18 = 216 סמ"ר = 24 × 9 = 24 × 3²
→ צריך פי 9 יותר נייר (לא פי 3!)
📝 סיכום דף 9 - יחסים בדמיון
היקפים: יחס k (כמו הצלעות)
קווים מיוחדים: יחס k (גבהים, תיכונים, חוצי זווית)
שטחים: יחס k² (ריבוע יחס הדמיון!)
זכרו: אורך → k, שטח → k²