מבוא להיפרבולה
היפרבולה
דף 1: מבוא להיפרבולה
📐 הגדרה גיאומטרית
היפרבולה היא אוסף כל הנקודות במישור שעבורן הפרש המרחקים משתי נקודות קבועות (המוקדים) הוא קבוע.
💡 בניסוח מתמטי:
\(|PF_1 - PF_2| = 2a\)
כאשר P נקודה על ההיפרבולה, ו-\(F_1, F_2\) הם המוקדים
🔍 השוואה לאליפסה:
| אליפסה | היפרבולה |
|---|---|
| סכום המרחקים קבוע | הפרש המרחקים קבוע |
| \(PF_1 + PF_2 = 2a\) | \(|PF_1 - PF_2| = 2a\) |
| עקום סגור | שני ענפים נפרדים |
🎨 שרטוט היפרבולה - ציר ראשי אופקי
שימו לב: להיפרבולה יש שני ענפים נפרדים - ימני ושמאלי
📚 המושגים הבסיסיים
| מושג | הסבר | סימון |
|---|---|---|
| מרכז | נקודת החיתוך של הצירים. בהיפרבולה קנונית: ראשית הצירים | \(O(0,0)\) |
| מוקדים | שתי נקודות קבועות שמגדירות את ההיפרבולה | \(F_1, F_2\) |
| קודקודים | הנקודות על ההיפרבולה הקרובות ביותר למרכז | \(A_1, A_2\) |
| ציר ראשי | הציר שעובר דרך המוקדים והקודקודים | אורך: \(2a\) |
| ציר משני | הציר הניצב לציר הראשי, עובר דרך המרכז | אורך: \(2b\) |
| אסימפטוטות | ישרים שההיפרבולה מתקרבת אליהם באינסוף אך לא נוגעת | 2 ישרים |
🔢 הפרמטרים a, b, c
| פרמטר | משמעות |
|---|---|
| a | המרחק מהמרכז לכל קודקוד (חצי הציר הראשי) |
| b | חצי הציר המשני (קובע את שיפוע האסימפטוטות) |
| c | המרחק מהמרכז לכל מוקד |
⚠️ הקשר החשוב (שונה מאליפסה!):
\(c^2 = a^2 + b^2\)
בהיפרבולה תמיד: \(c > a\) (המוקדים "מחוץ" לקודקודים)
📝 המשוואות הקנוניות
סוג 1: ציר ראשי אופקי (על ציר x)
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
קודקודים:
\((\pm a, 0)\)
מוקדים:
\((\pm c, 0)\)
אסימפטוטות:
\(y = \pm \frac{b}{a}x\)
סוג 2: ציר ראשי אנכי (על ציר y)
\(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\)
קודקודים:
\((0, \pm a)\)
מוקדים:
\((0, \pm c)\)
אסימפטוטות:
\(y = \pm \frac{a}{b}x\)
💡 איך מזהים?
- x² עם + (ו-y² עם −) → ציר ראשי אופקי
- y² עם + (ו-x² עם −) → ציר ראשי אנכי
- a² תמיד מתחת לאיבר החיובי!
🎨 שרטוט היפרבולה - ציר ראשי אנכי
כאן הענפים למעלה ולמטה (לא ימין-שמאל)
✏️ דוגמה
נתונה ההיפרבולה: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
מצאו את כל הפרמטרים.
פתרון:
1. זיהוי: x² עם + → ציר ראשי אופקי
2. מציאת a, b:
\(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\)
\(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\)
3. מציאת c:
\(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5\)
4. הנתונים:
- קודקודים: \(A_1(3, 0), A_2(-3, 0)\)
- מוקדים: \(F_1(5, 0), F_2(-5, 0)\)
- אסימפטוטות: \(y = \pm \frac{4}{3}x\)
💡 טיפים למבחן
בהיפרבולה: \(c^2 = a^2 + b^2\)
(שונה מאליפסה!)
a² תמיד מתחת לאיבר החיובי
המוקדים על הציר הראשי
📝 סיכום דף 1
היפרבולה = הפרש מרחקים קבוע: \(|PF_1 - PF_2| = 2a\)
הקשר: \(c^2 = a^2 + b^2\)
שני סוגים: ציר אופקי / ציר אנכי