היפרבולה 4 ישר והיפרבולה
היפרבולה
דף 4: היפרבולה וישר
📐 סוגי מפגש בין ישר להיפרבולה
| מצב | נקודות חיתוך | דיסקרימיננטה |
|---|---|---|
| ישר חותך | 2 | \(\Delta > 0\) |
| ישר משיק | 1 | \(\Delta = 0\) |
| ישר זר | 0 | \(\Delta < 0\) |
📋 שיטת מציאת נקודות חיתוך
- רושמים את שתי המשוואות:
היפרבולה: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
ישר: \(y = mx + n\)
- מציבים את y מהישר בהיפרבולה
- מקבלים משוואה ריבועית ב-x
- בודקים את הדיסקרימיננטה (Δ)
- פותרים ומוצאים את הנקודות
✏️ דוגמה 1: מציאת נקודות חיתוך
מצאו את נקודות החיתוך של:
היפרבולה: \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)
ישר: \(y = x + 1\)
פתרון:
שלב 1: מציבים \(y = x + 1\)
\(\frac{x^2}{4} - \frac{(x+1)^2}{9} = 1\)
שלב 2: כופלים ב-36
\(9x^2 - 4(x+1)^2 = 36\)
\(9x^2 - 4(x^2 + 2x + 1) = 36\)
\(9x^2 - 4x^2 - 8x - 4 = 36\)
\(5x^2 - 8x - 40 = 0\)
שלב 3: נוסחת השורשים
\(\Delta = 64 + 800 = 864 > 0\) → יש 2 פתרונות
\(x = \frac{8 \pm \sqrt{864}}{10} = \frac{8 \pm 12\sqrt{6}}{10} = \frac{4 \pm 6\sqrt{6}}{5}\)
שלב 4: מציאת y
\(y_1 = x_1 + 1 = \frac{4 + 6\sqrt{6}}{5} + 1 = \frac{9 + 6\sqrt{6}}{5}\)
\(y_2 = x_2 + 1 = \frac{4 - 6\sqrt{6}}{5} + 1 = \frac{9 - 6\sqrt{6}}{5}\)
נקודות החיתוך:
\(\left(\frac{4 + 6\sqrt{6}}{5}, \frac{9 + 6\sqrt{6}}{5}\right)\) ו-\(\left(\frac{4 - 6\sqrt{6}}{5}, \frac{9 - 6\sqrt{6}}{5}\right)\)
🎯 תנאי השקה (Δ = 0)
כדי שישר יהיה משיק להיפרבולה:
\(\Delta = 0\)
כלומר, למשוואה הריבועית שמתקבלת יש פתרון יחיד
✏️ דוגמה 2:
מצאו את ערכי m שעבורם הישר \(y = mx + 2\)
משיק להיפרבולה \(\frac{x^2}{4} - y^2 = 1\)
פתרון:
שלב 1: מציבים את y
\(\frac{x^2}{4} - (mx + 2)^2 = 1\)
שלב 2: פותחים
\(\frac{x^2}{4} - m^2x^2 - 4mx - 4 = 1\)
כופלים ב-4:
\(x^2 - 4m^2x^2 - 16mx - 16 = 4\)
\((1 - 4m^2)x^2 - 16mx - 20 = 0\)
שלב 3: תנאי השקה Δ = 0
\(a = 1-4m^2, \quad b = -16m, \quad c = -20\)
\(\Delta = 256m^2 + 80(1-4m^2) = 0\)
\(256m^2 + 80 - 320m^2 = 0\)
\(-64m^2 + 80 = 0\)
\(m^2 = \frac{80}{64} = \frac{5}{4}\)
\(m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}\)
תשובה: \(m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}\)
📏 משוואת משיק בנקודה על ההיפרבולה
עבור היפרבולה \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
והנקודה \(P(x_0, y_0)\) על ההיפרבולה:
\(\frac{x \cdot x_0}{a^2} - \frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1\)
💡 איך לזכור?
מחליפים \(x^2\) ב-\(x \cdot x_0\) ו-\(y^2\) ב-\(y \cdot y_0\)
✏️ דוגמה 3:
מצאו את משוואת המשיק להיפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
בנקודה \((5, \frac{16}{3})\)
פתרון:
נציב בנוסחה:
\(\frac{x \cdot 5}{9} - \frac{y \cdot \frac{16}{3}}{16} = 1\)
\(\frac{5x}{9} - \frac{y}{3} = 1\)
כופלים ב-9:
\(5x - 3y = 9\)
משוואת המשיק: \(5x - 3y = 9\)
⚠️ מקרה מיוחד: ישר מקביל לאסימפטוטה
ישר מקביל לאסימפטוטה (עם שיפוע \(\pm \frac{b}{a}\)) חותך את ההיפרבולה בנקודה אחת בלבד - אבל הוא לא משיק!
💡 הסבר:
כשהישר מקביל לאסימפטוטה, המשוואה שמתקבלת היא לינארית (לא ריבועית!) ולכן יש פתרון יחיד, אבל הישר "בורח" לאינסוף בכיוון האסימפטוטה.
📐 שיפוע המשיק (באמצעות נגזרת)
להיפרבולה \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
שיפוע המשיק בנקודה \((x_0, y_0)\):
\(m = \frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)
✏️ דוגמה 4:
מצאו את שיפוע המשיק להיפרבולה \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
בנקודה \((5, \frac{16}{3})\)
פתרון:
\(m = \frac{16 \cdot 5}{9 \cdot \frac{16}{3}} = \frac{80}{48} = \frac{5}{3}\)
שיפוע המשיק: \(m = \frac{5}{3}\)
💡 טיפים למבחן
חיתוך: הציבו y בהיפרבולה
משיק: דרשו Δ = 0
נוסחה: \(\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1\)
📝 סיכום דף 4
חותך: Δ > 0 | משיק: Δ = 0 | זר: Δ < 0
משוואת משיק: \(\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1\)