היפרבולה 5 נושאים מתקדמים
היפרבולה
דף 5: נושאים מתקדמים
🔄 היפרבולה צמודה
שתי היפרבולות צמודות הן היפרבולות עם אותן אסימפטוטות אך הענפים שלהן פונים לכיוונים ניצבים.
אם נתונה:
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
אז הצמודה לה:
\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)
או באופן שקול: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1\)
✏️ דוגמה:
היפרבולה: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
הצמודה: \(\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1\)
אסימפטוטות משותפות: \(y = \pm \frac{4}{3}x\)
📍 מיקום נקודה ביחס להיפרבולה
עבור היפרבולה \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
ונקודה \(P(x_0, y_0)\):
נחשב: \(S = \frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2}\)
| תוצאה | מיקום הנקודה |
|---|---|
| \(S = 1\) | על ההיפרבולה |
| \(S > 1\) | בין הענפים (באזור שבין הקודקודים) |
| \(S < 1\) | מחוץ (באזור הענפים) |
✏️ דוגמה:
היפרבולה: \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\)
האם הנקודה \((6, 4)\) על ההיפרבולה?
\(S = \frac{36}{9} - \frac{16}{16} = 4 - 1 = 3 > 1\)
הנקודה בין הענפים (לא על ההיפרבולה)
🔦 תכונה אופטית של היפרבולה
קרן אור שיוצאת ממוקד אחד ופוגעת בהיפרבולה - מוחזרת כאילו היא מגיעה מהמוקד השני.
💡 יישום:
תכונה זו משמשת בטלסקופים (כמו טלסקופ קסגריין) ובאנטנות לוויין.
📏 מיתר ומרכז מיתר
מיתר הוא קטע ישר שקצותיו על ההיפרבולה.
✏️ דוגמה: מציאת אורך מיתר
מצאו את אורך המיתר של ההיפרבולה \(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1\)
הנחתך ע"י הישר \(y = 2\)
פתרון:
שלב 1: מציאת נקודות החיתוך
מציבים \(y = 2\):
\(\frac{x^2}{4} - \frac{4}{9} = 1\)
\(\frac{x^2}{4} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}\)
\(x^2 = \frac{52}{9}\)
\(x = \pm \frac{2\sqrt{13}}{3}\)
שלב 2: הנקודות
\(A\left(\frac{2\sqrt{13}}{3}, 2\right)\) ו-\(B\left(-\frac{2\sqrt{13}}{3}, 2\right)\)
שלב 3: אורך המיתר
(מיתר אופקי, אז רק הפרש ב-x)
\(|AB| = \frac{2\sqrt{13}}{3} - \left(-\frac{2\sqrt{13}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{13}}{3}\)
תשובה: \(\frac{4\sqrt{13}}{3}\)
📐 היפרבולה מוזזת
היפרבולה עם מרכז ב-\((h, k)\) במקום בראשית:
\(\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\)
| גודל | קנונית | מוזזת |
|---|---|---|
| מרכז | \((0, 0)\) | \((h, k)\) |
| קודקודים (אופקי) | \((\pm a, 0)\) | \((h \pm a, k)\) |
| מוקדים (אופקי) | \((\pm c, 0)\) | \((h \pm c, k)\) |
| אסימפטוטות | \(y = \pm \frac{b}{a}x\) | \(y - k = \pm \frac{b}{a}(x - h)\) |
✏️ דוגמה:
היפרבולה: \(\frac{(x-2)^2}{9} - \frac{(y+1)^2}{16} = 1\)
- מרכז: \((2, -1)\)
- \(a = 3, b = 4, c = 5\)
- קודקודים: \((5, -1), (-1, -1)\)
- מוקדים: \((7, -1), (-3, -1)\)
- אסימפטוטות: \(y + 1 = \pm \frac{4}{3}(x - 2)\)
📋 סיכום כל הנוסחאות
| נושא | נוסחה |
|---|---|
| משוואה קנונית (אופקי) | \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) |
| משוואה קנונית (אנכי) | \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\) |
| קשר בסיסי | \(c^2 = a^2 + b^2\) |
| אקסצנטריות | \(e = \frac{c}{a} > 1\) |
| אסימפטוטות (אופקי) | \(y = \pm \frac{b}{a}x\) |
| פרמטר | \(p = \frac{b^2}{a}\) |
| הגדרה | \(|PF_1 - PF_2| = 2a\) |
| משיק בנקודה | \(\frac{xx_0}{a^2} - \frac{yy_0}{b^2} = 1\) |
| מרחק למוקד | \(PF = |ex_0 \pm a|\) |
📝 סיכום דף 5
היפרבולה צמודה: הופכים את הסימן
מיקום נקודה: S = 1 (על), S > 1 (בין), S < 1 (מחוץ)
היפרבולה מוזזת: מרכז (h, k)