🔹 חלק א': הגדרה גאומטרית של היפרבולה

היפרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שעבורן הפרש המרחקים משתי נקודות קבועות, הנקראות מוקדים, הוא מספר קבוע.

\(|PF_1 - PF_2| = 2a\)

כלומר: המרחק למוקד אחד גדול מהמרחק למוקד השני בדיוק ב־(2a).

הפרש המרחקים: \(PF_2 - PF_1 = 2a\)

🔹 חלק ב': בחירת מערכת צירים ותפקיד המוקדים

במקרים רבים נבחר מערכת צירים כך שהמוקדים יהיו:

• על ציר ה־x: \[ F_1(-c,0),\quad F_2(c,0) \]
• או על ציר ה־y: \[ F_1(0,-c),\quad F_2(0,c) \]

בחירה זו מפשטת את ההסקה של המשוואה הקנונית.

🔹 חלק ג': הסקת המשוואה הקנונית

רוצים למצוא את כל הנקודות P(x,y) שמקיימות:

\(|PF_1 - PF_2| = 2a\)

עבור מוקדים על ציר ה-x:

\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)

והקשר בין הפרמטרים:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

בניגוד לאליפסה (שבה \(c^2 = a^2 - b^2\)), כאן סכום ולא הפרש – כי המרחקים “גדלים”, לא “מצטמצמים”.

🔹 חלק ד': אסימפטוטות – מה רואים ומה זה אומר?

ההיפרבולה “מתקרבת” לשני קווים ישרים אך לא נוגעת בהם לעולם:

\(y = \pm \frac{b}{a} x\)

ההיפרבולה “נפתחת” לאורך ציר ה-x ומתקרבת לאסימפטוטות בצורת X

🔹 חלק ה': תכונות הסימטריה של היפרבולה

• סימטרית ביחס לציר ה-x ולציר ה-y.
• קיימים שני ענפים — ימין ושמאל (או למעלה ולמטה).
• ציר ראשי וציר משני – כמו באליפסה אבל “הפוך”.
• נקודות החיתוך עם ציר ה-x הן: \[ (\pm a , 0) \]

🔹 חלק ו': מצבים הדדיים עם ישרים ומעגלים

✔ היפרבולה וישר

• שני חיתוכים – ישר פוגש את שני הענפים
• פתרון יחיד – משיק
• ללא פתרון – אין חיתוך

✔ היפרבולה ומעגל

• 0–4 נקודות חיתוך
• כאשר המרכז על אחד הצירים – הפתרון נוח

🔹 חלק ז': בעיות מקום גאומטרי – היפרבולה

כאשר נתון “הפרש מרחקים משתי נקודות קבועות הוא קבוע” — זה תמיד היפרבולה.

הטכניקה דומה מאוד לאליפסה, רק שההפרש במקום הסכום:

\(|PF_1 - PF_2| = 2a\)

מפתחים ביטוי, מעלים בריבוע פעמיים, ומסדרים למשוואה הקנונית.

🔹 חלק ח': העשרה – היפרבולות על הקו x = y

כאשר המוקדים ממוקמים על הישר \(x=y\) באופן סימטרי:

\(F_1(-c,-c),\quad F_2(c,c)\)

מתקבלת משפחת פונקציות מהצורה:

xy = k

זוהי למעשה היפרבולה “מסובבת”. זהו יישום גאומטרי מרתק שמחבר בין וקטורים, מטריצות והעתקות לינאריות.