⭐ טעויות נפוצות בהוכחות באמצעות אינדוקציה

טעות 1: דילוג על שלב הבסיס

הטעות:
התלמיד כותב “ברור שזה נכון ל-n=1” או מדלג על הבדיקה הראשונית.

המשמעות הפדגוגית:
התלמיד לא מבין שאינדוקציה היא שרשרת שתלויה בטענה הראשונה. אם הבסיס לא נכון – כל ההוכחה לא תקפה.

איך מתקנים:
להבהיר: “האינדוקציה חייבת התחלה ברורה”.
לתת דוגמאות שבהן צעד האינדוקציה נכון אבל הבסיס שגוי – והטענה כולה כושלת.

טעות 2: שימוש בנוסחה כאילו היא כבר מוכחת

הטעות:
התלמיד מתייחס ל- \(1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}\) כאילו זו עובדה כללית, בלי לכתוב: “לפי הנחת האינדוקציה”.

המשמעות הפדגוגית:
התלמיד לא מבין שההנחה היא כלי זמני – לא משהו שמותר להשתמש בו מחוץ לצעד.

איך מתקנים:
להכריח כתיבה מפורשת: “לפי הנחת האינדוקציה”.
להדגיש: נוסחת הסכום אינה אלגברה – היא טענה שעדיין בעיצומה של הוכחה.

טעות 3: הוכחה מעגלית

הטעות:
התלמיד משתמש בנוסחה עבור \(n=k+1\) כדי להוכיח את אותה נוסחה.

המשמעות הפדגוגית:
התלמיד מציג את התוצאה במקום להוכיח אותה. זה מראה בלבול בין “ידוע” לבין “צריך להוכיח”.

איך מתקנים:
לתת דוגמה של “הוכחה” מעגלית שנראית נכונה אך היא לא הגיונית.

טעות 4: קפיצה אלגברית שאינה מוצדקת

הטעות:
התלמיד עובר למשל מ- \( \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \) ישר לנוסחה הסופית בלי הסבר.

המשמעות הפדגוגית:
הוא לא מבין ש"אינדוקציה" היא הוכחה לוגית, לא קיצור דרך אלגברי.

איך מתקנים:
לדרוש מהתלמיד לפרט את שלבי הפירוק: גורם משותף, פישוט, הצבה.

טעות 5: הוספת הנחת אינדוקציה לא חוקית

הטעות:
התלמיד מניח לא רק את הטענה עבור \(k\), אלא גם עבור \(k-1\) או עבור כל ערך קטן ממנו.

המשמעות הפדגוגית:
זה בלבול בין “אינדוקציה” לבין “רקורסיה”.

איך מתקנים:
להדגיש שמותר להניח אך ורק: \(P(k)\) — ולא שום דבר מעבר לזה.

טעות 6: בדיקת הרבה מקרים במקום הוכחה

הטעות:
התלמיד בודק ערכים כמו \(n=1,2,3,4\) וחושב שזה מוכיח את הטענה.

המשמעות הפדגוגית:
בלבול בין “בדיקה אמפירית” לבין “הוכחה כללית”.

איך מתקנים:
להראות דוגמאות לטענות שנכונות ל-100 מקרים ראשונים – ושוברות במקרה ה-101.

טעות 7: כתיבה ללא מבנה

הטעות:
ההוכחה אינה מחולקת לשלבים: בסיס, הנחת אינדוקציה, צעד.

המשמעות הפדגוגית:
התלמיד בעצם לא הבין מהי “הוכחה באינדוקציה”.

איך מתקנים:
ללמד שהמבנה הוא חובה ולא קישוט.

טעות 8: בחירת ערך בסיס שגוי

הטעות:
הטענה מוגדרת עבור \(n \ge 2\) — אך התלמיד בודק ב־\(n=1\).

המשמעות הפדגוגית:
חוסר קריאת שאלה בסיסית.

איך מתקנים:
להדגיש שהבסיס הוא הערך הראשון שבו הטענה מנוסחת.

טעות 9: הוכחה שאינה מסתיימת במסקנה

הטעות:
התלמיד מוכיח את הצעד, אבל לא מסיים בכתיבה:

"ולכן לפי שלב הבסיס ושלב הצעד — הטענה נכונה לכל n."

המשמעות הפדגוגית:
התלמיד לא מבין שהוכחה חייבת להסתיים בסגירת הטיעון.

איך מתקנים:
להרגיל לכתוב משפט סיום — חלק מהמבנה.