🔹 חלק א' – תרגילים ברמת בסיס (10 תרגילים)

1. הוכיחו באינדוקציה:
   \[ 1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} \]
2. הוכיחו באינדוקציה:
   \[ 2+4+6+\dots+2n = n(n+1) \]
3. הוכיחו באינדוקציה שהסכום:
   \[ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
4. הראו כי לכל \(n\ge 1\):
   \[ 2^n \ge n+1 \]
5. הוכיחו כי לכל \(n\ge 1\):
   \[ 3^n > n^2 \]
6. הוכיחו באינדוקציה כי:
   \[ n! \ge 2^{n-1} \]
7. הוכיחו שהסדרה המוגדרת ע"י:
   \[ a_1 = 1,\qquad a_{n+1} = a_n + 2 \] מקיימת: \[ a_n = 2n - 1 \]
8. הוכיחו כי לכל n:
   \[ 5^n - 1 \text{ מתחלק ב־ } 4 \]
9. הוכיחו כי לכל n:
   \[ 7^n - 1 \text{ מתחלק ב־ } 6 \]
10. הוכיחו כי לכל\(n\ge 1\):
    \[ n^3 + 2n \text{ מתחלק ב־ } 3 \]

🔸 חלק ב' – תרגילים ברמה בינונית (10 תרגילים)

11. הוכיחו שהסכום:
    \[ 1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot4 + \dots + n(n+1) \] הוא:
    \[ \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \]
12. הוכיחו באינדוקציה:
    \[ 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
13. הוכיחו כי לכל \(n\ge 1\):
    \[ n! \le n^n \]
14. הראו כי לכל \(n\ge 1\):
    \[ 2^{2n} - 1 \text{ מתחלק ב־ } 3 \]
15. הוכיחו שהסדרה המוגדרת ע"י:
    \[ a_1 = 3,\qquad a_{n+1} = 2a_n + 1 \] מקיימת: \[ a_n = 2^{n+1} - 1 \]
16. הראו כי לכל\(n\ge2\):
    \[ \frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} \]
17. הוכיחו באינדוקציה שהכפולה:
    \[ (1+2+3+\dots+n)^2 \ge n^3 \] מתקיימת לכל \(n\ge1\).
18. הוכיחו את אי־השוויון:
    \[ 3n + 2 < 2^n \] לכל \(n\ge5\).
19. הראו כי לכל \(n\ge 1\):
    \[ F_{n+2}F_n - F_{n+1}^2 = (-1)^n \] כאשר \(F_n\) הם מספרי פיבונאצ’י.
20. לכל \(n\ge1\) הוכיחו:
    \[ 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!} \]