🔹 1. שלב הבסיס – למה הוא קריטי?

שלב הבסיס הוא “נקודת ההתחלה” של השרשרת. בלעדיו – *אין שום דבר* שמתחיל את התהליך.

• מוכיחים שהטענה נכונה עבור ערך התחלתי מסוים, לרוב \(n=1\).
• זה לא “בדיקה מקרית” — אלא חלק מהמבנה הלוגי של ההוכחה.
• אם הבסיס שגוי → כל ההוכחה מתמוטטת.

🔹 2. שלב הצעד – המנוע של ההוכחה

שלב הצעד מבטיח שאם הטענה נכונה עבור \(k\) – היא תהיה נכונה עבור \(k+1\).

זהו צעד לוגי מסוג "אם A אז B". גם אם לא יודעים אם A נכון – עדיין מותר להוכיח את המעבר ממנו ל־B.

• מניחים את הטענה עבור \(k\) — זו *לא* קביעה שהיא נכונה.
• בונים את הטענה עבור \(k+1\).
• משתמשים בהנחה בצורה אלגברית חכמה.

🔹 3. המסקנה – אינסוף מקרים בהוכחה סופית

לאחר שהוכחנו:

✔ בסיס נכון
✔ צעד תקין

המסקנה: הטענה נכונה לכל \(n\in\mathbb{N}\).

הכוח העצום של אינדוקציה: הוכחה סופית של אינסוף מקרים.

🔹 4. הנחת האינדוקציה – כללים חשובים

למרות שמניחים שהטענה נכונה עבור \(k\), אסור להשתמש במסקנות שלא נובעות ישירות מן ההנחה.

• אסור “להניח יותר מדי”.
• חייבים להשתמש בנוסח המדויק של הטענה.
• צריך להיזהר ממעגליות.

🔹 5. מתי אינדוקציה נכשלת?

דוגמאות נפוצות:

• שלב בסיס שגוי.
• צעד שאינו נובע באמת מההנחה.
• מעבר לא חוקי בין מקרים.
• הנחה שאינה תואמת את צורת הטענה.

דווקא הכישלונות מלמדים הכי הרבה.