אינטגרל בשיטת ההצבה
∫ אינטגרל בשיטת ההצבה
שיטה לפתרון אינטגרלים מורכבים
🎯 מתי משתמשים בשיטת ההצבה?
שיטת ההצבה מתאימה כאשר יש לנו פונקציה מורכבת - פונקציה בתוך פונקציה.
סימן מובהק: כשרואים משהו כמו:
- \((2x+3)^5\) - ביטוי בחזקה
- \(\sqrt{x^2+1}\) - שורש של ביטוי
- \(e^{3x}\) - מעריך עם ביטוי
- \(\sin(2x)\) - פונקציה טריגונומטרית של ביטוי
💡 הרעיון המרכזי
שיטת ההצבה היא "כלל השרשרת הפוך".
אם בגזירה השתמשנו בכלל השרשרת:
\([f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
אז באינטגרל נעשה את הפעולה ההפוכה:
\(\int f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = f(g(x)) + C\)
📝 שלבי השיטה
שלב 1: בוחרים הצבה
מגדירים \(u = g(x)\) (בדרך כלל הביטוי "הפנימי")
שלב 2: מחשבים du
גוזרים: \(du = g'(x) \, dx\)
או: \(dx = \frac{du}{g'(x)}\)
שלב 3: מציבים באינטגרל
מחליפים את כל ה-x ו-dx במונחים של u ו-du
שלב 4: פותרים
פותרים את האינטגרל החדש (שבדרך כלל פשוט יותר)
שלב 5: חוזרים ל-x
מציבים בחזרה \(u = g(x)\)
✏️ דוגמה 1: חזקה של ביטוי לינארי
חשבו: \(\int (2x+3)^5 \, dx\)
פתרון:
שלב 1: נבחר הצבה
\(u = 2x + 3\)
שלב 2: נחשב du
\(\frac{du}{dx} = 2\)
\(du = 2 \, dx\)
\(dx = \frac{du}{2}\)
שלב 3: נציב באינטגרל
\(\int (2x+3)^5 \, dx = \int u^5 \cdot \frac{du}{2}\)
\(= \frac{1}{2} \int u^5 \, du\)
שלב 4: נפתור
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{12} + C\)
שלב 5: נחזור ל-x
\(= \frac{(2x+3)^6}{12} + C\)
תשובה: \(\frac{(2x+3)^6}{12} + C\)
⚡ נוסחה מהירה לביטוי לינארי
כאשר יש ביטוי לינארי \((ax + b)\) בתוך פונקציה:
\(\int f(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \cdot F(ax+b) + C\)
כאשר F היא הקדומה של f
💡 במילים: מחלקים במקדם של x!
דוגמאות:
| \(\int (3x+1)^4 \, dx = \frac{(3x+1)^5}{5 \cdot 3} + C = \frac{(3x+1)^5}{15} + C\) |
| \(\int e^{5x} \, dx = \frac{e^{5x}}{5} + C\) |
| \(\int \cos(2x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{2} + C\) |
| \(\int \frac{1}{4x-1} \, dx = \frac{\ln|4x-1|}{4} + C\) |
✏️ דוגמה 2: שורש של ביטוי
חשבו: \(\int x\sqrt{x^2+1} \, dx\)
פתרון:
שלב 1: נבחר הצבה (מה שתחת השורש)
\(u = x^2 + 1\)
שלב 2: נחשב du
\(du = 2x \, dx\)
\(x \, dx = \frac{du}{2}\)
שלב 3: נציב באינטגרל
\(\int x\sqrt{x^2+1} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{2}\)
\(= \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} \, du\)
שלב 4: נפתור
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C\)
שלב 5: נחזור ל-x
\(= \frac{1}{3} (x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}\sqrt{(x^2+1)^3} + C\)
תשובה: \(\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C\)
✏️ דוגמה 3: פונקציה מעריכית
חשבו: \(\int x \cdot e^{x^2} \, dx\)
פתרון:
שלב 1: הצבה
\(u = x^2\)
שלב 2: du
\(du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}\)
שלב 3+4: הצבה ופתרון
\(\int x \cdot e^{x^2} \, dx = \int e^u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^u + C\)
שלב 5: חזרה ל-x
\(= \frac{1}{2} e^{x^2} + C\)
תשובה: \(\frac{1}{2} e^{x^2} + C\)
✏️ דוגמה 4: לוגריתם
חשבו: \(\int \frac{\ln x}{x} \, dx\)
פתרון:
שלב 1: הצבה
\(u = \ln x\)
שלב 2: du
\(du = \frac{1}{x} \, dx\)
שלב 3+4: הצבה ופתרון
\(\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C\)
שלב 5: חזרה ל-x
\(= \frac{(\ln x)^2}{2} + C\)
תשובה: \(\frac{(\ln x)^2}{2} + C\)
✏️ דוגמה 5: אינטגרל מסוים עם הצבה
חשבו: \(\int_0^1 x(x^2+1)^3 \, dx\)
פתרון:
שלב 1: הצבה
\(u = x^2 + 1\)
\(du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}\)
שלב 2: מחליפים גבולות!
כש-\(x = 0\): \(u = 0^2 + 1 = 1\)
כש-\(x = 1\): \(u = 1^2 + 1 = 2\)
שלב 3: האינטגרל החדש
\(\int_0^1 x(x^2+1)^3 \, dx = \int_1^2 u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^2 u^3 \, du\)
שלב 4: פתרון
\(= \frac{1}{2} \Big[ \frac{u^4}{4} \Big]_1^2\)
\(= \frac{1}{2} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right)\)
\(= \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{8}\)
תשובה: \(\frac{15}{8}\)
⚠️ חשוב: באינטגרל מסוים יש להחליף גם את הגבולות ל-u!
אז אין צורך לחזור ל-x בסוף.
🎯 איך לבחור את u?
| סוג האינטגרל | מה לבחור כ-u |
|---|---|
| \(\int f(ax+b) \, dx\) | \(u = ax + b\) |
| \(\int x \cdot f(x^2) \, dx\) | \(u = x^2\) |
| \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\) | \(u = f(x)\) → תוצאה: \(\ln|u|\) |
| \(\int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx\) | \(u = f(x)\) |
| \(\int \sin^n x \cos x \, dx\) | \(u = \sin x\) |
💡 כלל אצבע:
בחרו u להיות הביטוי שהנגזרת שלו מופיעה באינטגרל (או כמעט מופיעה)
📋 אינטגרלים חשובים (לזכור!)
| אינטגרל | תוצאה |
|---|---|
| \(\int (ax+b)^n \, dx\) | \(\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C\) |
| \(\int \frac{1}{ax+b} \, dx\) | \(\frac{1}{a}\ln|ax+b| + C\) |
| \(\int e^{ax+b} \, dx\) | \(\frac{1}{a}e^{ax+b} + C\) |
| \(\int \sin(ax+b) \, dx\) | \(-\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C\) |
| \(\int \cos(ax+b) \, dx\) | \(\frac{1}{a}\sin(ax+b) + C\) |
| \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\) | \(\ln|f(x)| + C\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ לזהות את התבנית
חפשו פונקציה שהנגזרת שלה מופיעה באינטגרל
2️⃣ לא לשכוח לחלק
אם \(du = 2x \, dx\), אז \(x \, dx = \frac{du}{2}\)
3️⃣ גבולות באינטגרל מסוים
להחליף גבולות ל-u או לחזור ל-x לפני ההצבה
4️⃣ לבדוק בגזירה
תמיד אפשר לגזור את התוצאה ולוודא שמקבלים את האינטגרנד
📝 סיכום
שיטת ההצבה: \(u = g(x)\), \(du = g'(x) \, dx\)
ביטוי לינארי: \(\int f(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C\)
המפתח: לזהות את הביטוי הפנימי ואת הנגזרת שלו