אינטגרל חילוק פולינומים
∫ אינטגרל של חילוק פולינומים
שבר של פולינומים וחילוק ארוך
🎯 מתי נתקלים בזה?
כשיש לנו אינטגרל של שבר של פולינומים, למשל:
\(\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1} \, dx\)
אי אפשר לפתור ישירות! צריך קודם לפשט את השבר.
📌 מתי משתמשים בחילוק פולינומים?
כאשר דרגת המונה ≥ דרגת המכנה
✓ צריך לחלק
\(\frac{x^2 + 1}{x + 2}\)
דרגה 2 ≥ דרגה 1
✗ לא צריך לחלק
\(\frac{x + 1}{x^2 + 2}\)
דרגה 1 < דרגה 2
📝 שלבי הפתרון
שלב 1: מבצעים חילוק פולינומים
מחלקים את המונה במכנה (חילוק ארוך או קצר)
שלב 2: כותבים את התוצאה
\(\frac{\text{מונה}}{\text{מכנה}} = \text{מנה} + \frac{\text{שארית}}{\text{מכנה}}\)
שלב 3: מבצעים אינטגרל לכל חלק בנפרד
עכשיו האינטגרל פשוט יותר!
🔄 תזכורת: חילוק פולינומים ארוך
דוגמה: \(\frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\)
x + 2
─────────
x + 1 │ x² + 3x + 5
x² + x
─────────
2x + 5
2x + 2
───────
3 ← שארית
תוצאה:
\(\frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1} = (x + 2) + \frac{3}{x + 1}\)
💡 לזכור:
\(\text{מונה} = \text{מכנה} \times \text{מנה} + \text{שארית}\)
\(x^2 + 3x + 5 = (x+1)(x+2) + 3\) ✓
✏️ דוגמה 1: שבר פשוט
חשבו: \(\int \frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1} \, dx\)
פתרון:
שלב 1: חילוק פולינומים (ראינו למעלה)
\(\frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1} = (x + 2) + \frac{3}{x + 1}\)
שלב 2: אינטגרל לכל חלק
\(\int \left[ (x + 2) + \frac{3}{x + 1} \right] dx\)
\(= \int (x + 2) \, dx + \int \frac{3}{x + 1} \, dx\)
שלב 3: פתרון
\(= \frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x + 1| + C\)
תשובה: \(\frac{x^2}{2} + 2x + 3\ln|x + 1| + C\)
⚡ שיטה מהירה: חילוק קצר (הורנר)
כשמחלקים ב-\((x - a)\), אפשר להשתמש בשיטת הורנר:
דוגמה: \(\frac{x^2 + 3x + 5}{x + 1}\)
כאן \(a = -1\) (כי \(x + 1 = x - (-1)\))
מקדמים: 1 3 5
↓ -1 -2
a = -1 ─────────────
1 2 3 ← שארית
תוצאה: מנה = \(x + 2\), שארית = \(3\)
✏️ דוגמה 2: דרגה גבוהה יותר
חשבו: \(\int \frac{x^3 - 2x^2 + x - 3}{x - 2} \, dx\)
פתרון:
שלב 1: חילוק בהורנר (\(a = 2\))
מקדמים: 1 -2 1 -3
↓ 2 0 2
a = 2 ────────────────
1 0 1 -1 ← שארית
מנה = \(x^2 + 1\), שארית = \(-1\)
שלב 2: כתיבה מחדש
\(\frac{x^3 - 2x^2 + x - 3}{x - 2} = (x^2 + 1) + \frac{-1}{x - 2}\)
שלב 3: אינטגרל
\(\int \left[ (x^2 + 1) - \frac{1}{x - 2} \right] dx\)
\(= \frac{x^3}{3} + x - \ln|x - 2| + C\)
תשובה: \(\frac{x^3}{3} + x - \ln|x - 2| + C\)
✏️ דוגמה 3: אינטגרל מסוים
חשבו: \(\int_2^4 \frac{x^2}{x - 1} \, dx\)
פתרון:
שלב 1: חילוק
\(\frac{x^2}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1) + 1}{x - 1}\)
\(= (x + 1) + \frac{1}{x - 1}\)
שלב 2: אינטגרל לא מסוים
\(\int \left[ (x + 1) + \frac{1}{x - 1} \right] dx = \frac{x^2}{2} + x + \ln|x - 1|\)
שלב 3: הצבת גבולות
\(\Big[ \frac{x^2}{2} + x + \ln|x - 1| \Big]_2^4\)
\(= \left( \frac{16}{2} + 4 + \ln 3 \right) - \left( \frac{4}{2} + 2 + \ln 1 \right)\)
\(= (8 + 4 + \ln 3) - (2 + 2 + 0)\)
\(= 12 + \ln 3 - 4 = 8 + \ln 3\)
תשובה: \(8 + \ln 3\)
🔍 מקרים מיוחדים
מקרה 1: המונה הוא נגזרת המכנה
דוגמה: \(\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx\)
המונה \(2x + 3\) הוא הנגזרת של המכנה!
תשובה: \(\ln|x^2 + 3x + 1| + C\)
מקרה 2: המונה הוא כפולה של נגזרת המכנה
דוגמה: \(\int \frac{6x + 9}{x^2 + 3x + 1} \, dx\)
המונה הוא \(3 \cdot (2x + 3)\)
תשובה: \(3\ln|x^2 + 3x + 1| + C\)
\(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C\)
✏️ דוגמה 4: צריך "לתקן" את המונה
חשבו: \(\int \frac{x + 5}{x + 2} \, dx\)
פתרון:
שיטה 1: חילוק
\(\frac{x + 5}{x + 2} = \frac{(x + 2) + 3}{x + 2} = 1 + \frac{3}{x + 2}\)
אינטגרל:
\(\int \left( 1 + \frac{3}{x + 2} \right) dx = x + 3\ln|x + 2| + C\)
תשובה: \(x + 3\ln|x + 2| + C\)
✏️ דוגמה 5: מכנה ריבועי
חשבו: \(\int \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} \, dx\)
פתרון:
שלב 1: חילוק
\(\frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{x^3 + x + x}{x^2 + 1} = \frac{x(x^2 + 1) + x}{x^2 + 1}\)
\(= x + \frac{x}{x^2 + 1}\)
שלב 2: אינטגרל
\(\int x \, dx + \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx\)
באינטגרל השני: \(u = x^2 + 1\), \(du = 2x \, dx\)
\(= \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2 + 1| + C\)
תשובה: \(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C\)
💡 שימו לב: אין צורך בערך מוחלט כי \(x^2 + 1 > 0\) תמיד!
📋 סיכום התבניות
| סוג השבר | השיטה |
|---|---|
| דרגת מונה ≥ דרגת מכנה | חילוק פולינומים |
| \(\frac{f'(x)}{f(x)}\) | \(\ln|f(x)| + C\) |
| \(\frac{1}{ax + b}\) | \(\frac{1}{a}\ln|ax + b| + C\) |
| \(\frac{x}{x^2 + a}\) | \(\frac{1}{2}\ln|x^2 + a| + C\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ בדקו דרגות
אם דרגת מונה ≥ מכנה → חילוק פולינומים
2️⃣ חפשו נגזרת
האם המונה הוא (כפולה של) נגזרת המכנה?
3️⃣ בדקו בגזירה
תמיד אפשר לגזור ולוודא שמקבלים את האינטגרנד
4️⃣ ערך מוחלט
ב-ln יש ערך מוחלט, אלא אם המכנה תמיד חיובי
📝 סיכום
\(\frac{\text{מונה}}{\text{מכנה}} = \text{מנה} + \frac{\text{שארית}}{\text{מכנה}}\)
חילוק פולינומים → אינטגרל לכל חלק בנפרד
\(\int \frac{1}{ax+b} \, dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C\)