אינטגרל מסוים
∫ אינטגרל מסוים
חישוב שטחים ונוסחת ניוטון-לייבניץ
🎯 מה זה אינטגרל מסוים?
אינטגרל מסוים הוא אינטגרל עם גבולות - גבול תחתון וגבול עליון.
התוצאה היא מספר (לא פונקציה!) שמייצג את השטח מתחת לגרף.
\(\int_a^b f(x) \, dx\)
\(a\) = גבול תחתון | \(b\) = גבול עליון
⚖️ אינטגרל מסוים vs לא מסוים
| אינטגרל לא מסוים | אינטגרל מסוים |
|---|---|
| \(\int f(x) \, dx\) | \(\int_a^b f(x) \, dx\) |
| התוצאה: פונקציה + C | התוצאה: מספר |
| \(\int 2x \, dx = x^2 + C\) | \(\int_1^3 2x \, dx = 8\) |
⭐ נוסחת ניוטון-לייבניץ (המשפט היסודי)
\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
כאשר \(F(x)\) היא פונקציה קדומה של \(f(x)\)
💡 במילים:
- מוצאים את הפונקציה הקדומה \(F(x)\)
- מציבים את הגבול העליון: \(F(b)\)
- מציבים את הגבול התחתון: \(F(a)\)
- מחסרים: \(F(b) - F(a)\)
📝 סימון מקוצר:
\(\int_a^b f(x) \, dx = \Big[ F(x) \Big]_a^b = F(b) - F(a)\)
✏️ דוגמה 1: חישוב בסיסי
חשבו: \(\int_1^4 2x \, dx\)
פתרון:
שלב 1: מוצאים פונקציה קדומה
\(F(x) = x^2\)
שלב 2: מציבים גבולות
\(\Big[ x^2 \Big]_1^4 = F(4) - F(1)\)
\(= 4^2 - 1^2\)
\(= 16 - 1 = 15\)
תשובה: 15
🔍 שימו לב: אין +C באינטגרל מסוים! (הקבוע מתבטל בחיסור)
📐 הפרשנות הגיאומטרית: שטח
האינטגרל המסוים \(\int_a^b f(x) \, dx\) מייצג את השטח בין:
- גרף הפונקציה \(f(x)\)
- ציר ה-x
- הישרים \(x = a\) ו-\(x = b\)
⚠️ שטח מעל ומתחת לציר x
חשוב להבין:
- שטח מעל ציר x → תורם ערך חיובי
- שטח מתחת לציר x → תורם ערך שלילי
🔴 לכן, אם רוצים שטח ממשי (תמיד חיובי):
\(\text{שטח} = \int_a^b |f(x)| \, dx\)
או לחשב כל קטע בנפרד ולסכום ערכים מוחלטים
✏️ דוגמה 2: שטח עם חלק שלילי
מצאו את השטח בין \(f(x) = x^2 - 4\) לציר x בקטע \([-2, 3]\)
פתרון:
שלב 1: מוצאים נקודות חיתוך עם ציר x
\(x^2 - 4 = 0\)
\(x = \pm 2\)
שלב 2: בודקים סימן בכל קטע
בקטע \([-2, 2]\): הפונקציה שלילית (מתחת לציר)
בקטע \([2, 3]\): הפונקציה חיובית (מעל הציר)
שלב 3: מחשבים כל חלק בנפרד
חלק 1 (שלילי, לוקחים ערך מוחלט):
\(\left| \int_{-2}^{2} (x^2-4) \, dx \right| = \left| \Big[ \frac{x^3}{3} - 4x \Big]_{-2}^{2} \right|\)
\(= \left| \left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(\frac{-8}{3} + 8\right) \right|\)
\(= \left| -\frac{16}{3} - \frac{16}{3} \right| = \left| -\frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3}\)
חלק 2 (חיובי):
\(\int_{2}^{3} (x^2-4) \, dx = \Big[ \frac{x^3}{3} - 4x \Big]_{2}^{3}\)
\(= \left(9 - 12\right) - \left(\frac{8}{3} - 8\right)\)
\(= -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}\)
שלב 4: סוכמים
\(\text{שטח} = \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \frac{39}{3} = 13\)
תשובה: 13
📊 שטח בין שתי פונקציות
\(\text{שטח} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx\)
💡 בפועל:
\(\text{שטח} = \int_a^b (\text{פונקציה עליונה} - \text{פונקציה תחתונה}) \, dx\)
✏️ דוגמה 3: שטח בין שתי פונקציות
מצאו את השטח בין \(f(x) = x^2\) ו-\(g(x) = x\)
פתרון:
שלב 1: מוצאים נקודות חיתוך
\(x^2 = x\)
\(x^2 - x = 0\)
\(x(x-1) = 0\)
\(x = 0\) או \(x = 1\)
שלב 2: מזהים מי למעלה
בקטע \([0, 1]\): נבדוק ב-\(x = 0.5\)
\(f(0.5) = 0.25\), \(g(0.5) = 0.5\)
לכן \(g(x) = x\) למעלה
שלב 3: מחשבים
\(\text{שטח} = \int_0^1 (x - x^2) \, dx\)
\(= \Big[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \Big]_0^1\)
\(= \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0)\)
\(= \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}\)
תשובה: \(\frac{1}{6}\)
📏 תכונות האינטגרל המסוים
1. החלפת גבולות:
\(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\)
2. גבולות שווים:
\(\int_a^a f(x) \, dx = 0\)
3. חיבור קטעים (אדיטיביות):
\(\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx\)
4. לינאריות:
\(\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx\)
\(\int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx\)
❌ שגיאות נפוצות
❌ שגיאה 1: לשכוח שהשטח יכול להיות שלילי
✓ נכון: לבדוק איפה הפונקציה חיובית/שלילית
❌ שגיאה 2: להציב גבולות בסדר הפוך
✓ נכון: תמיד \(F(b) - F(a)\) (עליון פחות תחתון)
❌ שגיאה 3: לכתוב +C באינטגרל מסוים
✓ נכון: באינטגרל מסוים אין צורך ב-C
❌ שגיאה 4: לשכוח לבדוק מי למעלה בשטח בין פונקציות
✓ נכון: תמיד עליונה פחות תחתונה
💡 טיפים למבחן
1️⃣ לשרטט!
תמיד לשרטט את הפונקציה כדי להבין את השטח
2️⃣ נקודות חיתוך
למצוא איפה הפונקציה חותכת את ציר x או את הפונקציה השנייה
3️⃣ לחלק לקטעים
אם יש שינוי סימן - לפצל את האינטגרל
4️⃣ לבדוק תוצאה
שטח חייב להיות חיובי! אם יצא שלילי - משהו לא בסדר
📝 סיכום
\(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
שטח מתחת לציר x → שלילי
שטח בין פונקציות: עליונה − תחתונה
התוצאה היא מספר (לא פונקציה)