הסבר סיכום חוקי לוגריתמים
📊 לוגריתמים - חוקים ונוסחאות
הגדרה, חוקים בסיסיים ויישומים
🎯 מה זה לוגריתם?
לוגריתם הוא הפעולה ההפוכה לחזקה.
הלוגריתם עונה על השאלה: "באיזו חזקה צריך להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר?"
\(\log_a b = c \iff a^c = b\)
"לוגריתם בבסיס a של b שווה ל-c" ⟺ "a בחזקת c שווה ל-b"
⚠️ תחום ההגדרה (אילוצים)
כדי ש-\(\log_a b\) יהיה מוגדר, חייבים להתקיים:
\(a > 0\)
הבסיס חיובי
\(a \neq 1\)
הבסיס שונה מ-1
\(b > 0\)
הארגומנט חיובי
💡 לזכור: אי אפשר להכניס ללוגריתם מספר שלילי או אפס!
⭐ לוגריתמים מיוחדים
| סימון | משמעות | דוגמה |
|---|---|---|
| \(\log b\) או \(\lg b\) | לוגריתם עשרוני (בסיס 10) | \(\log 100 = 2\) |
| \(\ln b\) | לוגריתם טבעי (בסיס e ≈ 2.718) | \(\ln e = 1\) |
| \(\log_2 b\) | לוגריתם בינארי (בסיס 2) | \(\log_2 8 = 3\) |
🔢 ערכים בסיסיים חשובים
\(\log_a 1 = 0\)
כי \(a^0 = 1\)
\(\log_a a = 1\)
כי \(a^1 = a\)
\(\log_a a^n = n\)
כי \(a^n = a^n\)
📐 חוקי הלוגריתמים
(לפי אילוצי תחום ההגדרה)
1️⃣ חוק המכפלה (לוג של מכפלה)
\(\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\)
💡 במילים: לוגריתם של מכפלה = סכום הלוגריתמים
דוגמה:
\(\log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5\)
בדיקה: \(8 \cdot 4 = 32 = 2^5\) ✓
2️⃣ חוק המנה (לוג של מנה)
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)
💡 במילים: לוגריתם של מנה = הפרש הלוגריתמים
דוגמה:
\(\log_3\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3 81 - \log_3 3 = 4 - 1 = 3\)
בדיקה: \(\frac{81}{3} = 27 = 3^3\) ✓
3️⃣ חוק החזקה (לוג של חזקה)
\(\log_a(x^b) = b \cdot \log_a x\)
💡 במילים: המעריך יורד להיות מקדם (כופל)
דוגמה:
\(\log_2(4^3) = 3 \cdot \log_2 4 = 3 \cdot 2 = 6\)
בדיקה: \(4^3 = 64 = 2^6\) ✓
🔄 זהויות חשובות
4️⃣ הלוג "מבטל" את החזקה
\(\log_a(a^b) = b\)
💡 במילים: לוגריתם של הבסיס בחזקה = החזקה עצמה
דוגמה: \(\log_5(5^7) = 7\)
5️⃣ החזקה "מבטלת" את הלוג
\(a^{\log_a x} = x\)
💡 במילים: הבסיס בחזקת הלוגריתם = הארגומנט
דוגמה: \(2^{\log_2 8} = 8\)
🔀 המרת בסיס
\(\log_c x = \frac{\log_a x}{\log_a c}\)
💡 במילים: אפשר להמיר לוגריתם לכל בסיס אחר על ידי חילוק שני לוגריתמים באותו בסיס
דוגמה:
\(\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2} = 1.5\)
בדיקה: \(4^{1.5} = 4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8\) ✓
🔧 שימוש נפוץ במחשבון:
\(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}\)
📈 יישום: גדילה והתפוררות (ריבוי ודעיכה)
\(f(t) = f(0) \cdot q^t\)
כאשר q הוא מקדם הגדילה / הדעיכה
| סימון | משמעות |
|---|---|
| \(f(t)\) | הכמות לאחר t יחידות זמן |
| \(f(0)\) | הכמות ההתחלתית (בזמן t=0) |
| \(q\) | מקדם הגדילה/דעיכה |
| \(t\) | הזמן שעבר |
גדילה
\(q > 1\)
למשל: ריבוי חיידקים
דעיכה
\(0 < q < 1\)
למשל: התפוררות רדיואקטיבית
📋 טבלת סיכום - כל החוקים
| שם החוק | הנוסחה |
|---|---|
| הגדרה | \(\log_a b = c \iff a^c = b\) |
| לוג של 1 | \(\log_a 1 = 0\) |
| לוג של הבסיס | \(\log_a a = 1\) |
| חוק המכפלה | \(\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\) |
| חוק המנה | \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\) |
| חוק החזקה | \(\log_a(x^b) = b \cdot \log_a x\) |
| לוג מבטל חזקה | \(\log_a(a^b) = b\) |
| חזקה מבטלת לוג | \(a^{\log_a x} = x\) |
| המרת בסיס | \(\log_c x = \frac{\log_a x}{\log_a c}\) |
💡 טיפים למבחן
1️⃣ לבדוק תחום
תמיד לוודא שהבסיס חיובי ושונה מ-1, והארגומנט חיובי
2️⃣ כפל ↔ חיבור
מכפלה בתוך → חיבור בחוץ
מנה בתוך → חיסור בחוץ
3️⃣ חזקה → מקדם
המעריך יורד להיות כופל לפני הלוג
4️⃣ לא לבלבל!
\(\log(x+y) \neq \log x + \log y\)
\(\log(x-y) \neq \log x - \log y\)
📝 עיקרי הנוסחאות
\(\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y\)
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y\)
\(\log_a(x^b) = b \cdot \log_a x\)
לוג וחזקה הם פעולות הפוכות!