התפלגות נורמלית ציון תקן (Z) - מבוא, נוסחה ומשמעות
התפלגות נורמלית
ציון תקן (Z-Score) - מבוא, נוסחה ומשמעות
🎯 למה צריך ציון תקן?
💡 הבעיה: תלמיד קיבל 65 במבחן כימיה. האם זה ציון טוב או גרוע?
התשובה תלויה בשאר הכיתה! אם הממוצע היה 53, הציון 65 הוא מעולה!
🔍 דוגמה: אריק קיבל 65 בכימיה ו-65 בפיזיקה. בשניהם הממוצע היה 53.
האם הוא הצליח באותה מידה בשני המקצועות?
כימיה אורגנית
ממוצע: 53
סטיית תקן: 2
אריק בולט מאוד!
פיזיקה
ממוצע: 53
סטיית תקן: 12
אריק טוב, אבל לא חריג
📌 המסקנה: כדי לדעת עד כמה ערך מסוים בולט, צריך להשוות אותו ל:
- הממוצע של ההתפלגות
- הפיזור (סטיית התקן) של כל התצפיות סביב הממוצע
⭐ נוסחת ציון התקן
\(Z_x = \frac{x - \bar{x}}{S_x}\)
| \(Z_x\) | ציון התקן של הערך x |
| \(x\) | הציון הגולמי (האמיתי) |
| \(\bar{x}\) | הממוצע של ההתפלגות |
| \(S_x\) | סטיית התקן של ההתפלגות |
💡 משמעות הנוסחה:
ציון התקן מודד את המרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן
✏️ חישוב ציון התקן של אריק
כימיה אורגנית
ציון אריק: x = 65
ממוצע: \(\bar{x}\) = 53
סטיית תקן: S = 2
\(Z = \frac{65-53}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
אריק רחוק 6 סטיות תקן מהממוצע!
פיזיקה
ציון אריק: x = 65
ממוצע: \(\bar{x}\) = 53
סטיית תקן: S = 12
\(Z = \frac{65-53}{12} = \frac{12}{12} = 1\)
אריק רחוק סטיית תקן אחת בלבד!
מסקנה: למרות שאריק קיבל 65 בשני המבחנים, בכימיה הוא הצליח הרבה יותר (Z=6) מאשר בפיזיקה (Z=1)
📊 משמעות הסימן של ציון התקן
| מצב | סימן Z | משמעות |
|---|---|---|
| \(x > \bar{x}\) | Z > 0 | הציון מעל הממוצע |
| \(x = \bar{x}\) | Z = 0 | הציון שווה בדיוק לממוצע |
| \(x < \bar{x}\) | Z < 0 | הציון מתחת לממוצע |
💡 ככל שהערך המוחלט של Z גדול יותר - הציון רחוק יותר מהממוצע!
Z = 3 (גבוה מאוד מעל הממוצע) , Z = -2.5 (נמוך מאוד מתחת לממוצע)
📌 תכונות חשובות של ציון תקן
1️⃣ ציון תקן הוא מספר טהור - חסר יחידות!
לא משנה אם מדובר בציונים, משקל בק"ג או גובה בס"מ - ציון התקן הוא מספר ללא יחידות
2️⃣ ממוצע ציוני התקן הוא תמיד 0
\(\bar{Z} = 0\)
3️⃣ סטיית התקן של ציוני התקן היא תמיד 1
\(S_Z^2 = 1\)
🔄 הנוסחה ההפוכה - מציון תקן לציון גולמי
\(x = \bar{x} + Z \cdot S_x\)
✏️ דוגמה: בהתפלגות עם ממוצע 80 וסטיית תקן 5, מהו הציון הגולמי של תלמיד עם Z = 1.5?
\(x = 80 + 1.5 \cdot 5 = 80 + 7.5 = 87.5\)
🔧 טרנספורמציות וציון תקן
טרנספורמציה לינארית לא משנה את ציון התקן!
💡 מה זו טרנספורמציה לינארית?
חיבור/חיסור/כפל/חילוק של כל הערכים במספר קבוע
✏️ דוגמה: ציון התקן של אריק בכימיה הוא Z = 6.
המרצה נתן בונוס של 10 נקודות לכל הציונים. מה יהיה ציון התקן החדש של אריק?
ציון התקן של אריק נשאר Z = 6!
גם אם מוסיפים 10%, מכפילים פי 2, וכו' - ציון התקן לא ישתנה
⚠️ מתי ציון התקן כן ישתנה?
כשהפעולה אינה על כל הערכים באופן שווה (למשל: הוספה רק לציונים מתחת ל-55)
📝 סיכום
\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
ציון תקן = מרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן
Z > 0 מעל הממוצע | Z = 0 שווה לממוצע | Z < 0 מתחת לממוצע