התפלגות נורמלית - מציון גולמי להסתברות - התהליך המ
התפלגות נורמלית
מציון גולמי להסתברות - התהליך המלא
🎯 התהליך המלא
ציון גולמי (x)
ציון תקן (Z)
הסתברות/אחוז
שלב 1: חשבו ציון תקן: \(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
שלב 2: מצאו בטבלת Z את ההסתברות
שלב 3: בצעו התאמות אם צריך (אחוז משלים, חיסור שטחים)
✏️ דוגמה 1: P(X < a) - קטן מערך מסוים
שאלה: ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 75 וסטיית תקן 10.
מה ההסתברות שתלמיד יקבל ציון נמוך מ-85?
שלב 1 - חישוב Z:
\(Z = \frac{85 - 75}{10} = \frac{10}{10} = 1\)
שלב 2 - קריאה מהטבלה:
P(Z ≤ 1) = 0.8413
תשובה: 84.13% מהתלמידים יקבלו ציון נמוך מ-85
✏️ דוגמה 2: P(X > a) - גדול מערך מסוים
שאלה: גובה נשים מתפלג נורמלית עם ממוצע 165 ס"מ וסטיית תקן 6 ס"מ.
מה ההסתברות שאישה תהיה גבוהה מ-175 ס"מ?
שלב 1 - חישוב Z:
\(Z = \frac{175 - 165}{6} = \frac{10}{6} \approx 1.67\)
שלב 2 - קריאה מהטבלה:
P(Z ≤ 1.67) = 0.9525
שלב 3 - אחוז משלים (כי שואלים "גדול מ"):
P(Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
תשובה: 4.75% מהנשים גבוהות מ-175 ס"מ
✏️ דוגמה 3: P(a < X < b) - בין שני ערכים
שאלה: משקל תינוקות מתפלג נורמלית עם ממוצע 3.2 ק"ג וסטיית תקן 0.5 ק"ג.
מה ההסתברות שתינוק ישקול בין 2.8 ל-3.5 ק"ג?
שלב 1 - חישוב Z לשני הערכים:
\(Z_1 = \frac{2.8 - 3.2}{0.5} = \frac{-0.4}{0.5} = -0.8\)
\(Z_2 = \frac{3.5 - 3.2}{0.5} = \frac{0.3}{0.5} = 0.6\)
שלב 2 - קריאה מהטבלה:
P(Z ≤ -0.8) = 0.2119
P(Z ≤ 0.6) = 0.7257
שלב 3 - חיסור שטחים:
P(-0.8 < Z < 0.6) = 0.7257 - 0.2119 = 0.5138
תשובה: 51.38% מהתינוקות שוקלים בין 2.8 ל-3.5 ק"ג
✏️ דוגמה 4: שטח סימטרי סביב הממוצע
שאלה: ציוני IQ מתפלגים נורמלית עם ממוצע 100 וסטיית תקן 15.
מה ההסתברות שאדם יהיה בעל IQ בין 85 ל-115?
💡 שימו לב: הטווח סימטרי סביב הממוצע! (100±15)
שלב 1 - חישוב Z:
\(Z_1 = \frac{85 - 100}{15} = -1\)
\(Z_2 = \frac{115 - 100}{15} = 1\)
שלב 2 - קריאה מהטבלה:
P(Z ≤ 1) = 0.8413
P(Z ≤ -1) = 0.1587
שלב 3 - חיסור:
P(-1 < Z < 1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
תשובה: כ-68% מהאנשים בעלי IQ בין 85 ל-115
(זה כלל 68-95-99.7!)
📋 טבלת סיכום - סוגי שאלות
| סוג השאלה | הדרך |
|---|---|
| P(X < a) | חשבו Z, קראו מהטבלה |
| P(X > a) | חשבו Z, קראו מהטבלה, חשבו 1 - (ערך מהטבלה) |
| P(a < X < b) | חשבו שני Z, קראו שניהם מהטבלה, חסרו |
📝 סיכום
ציון גולמי → ציון תקן → טבלה → הסתברות
"גדול מ" = אחוז משלים
"בין" = חיסור שטחים