התפלגות נורמלית בעיות הפוכות מהסתברות לציון גולמי
התפלגות נורמלית
בעיות הפוכות - מהסתברות לציון גולמי
🔄 התהליך ההפוך
הסתברות/אחוז
ציון תקן (Z)
ציון גולמי (x)
שלב 1: התאימו את האחוז לשטח משמאל (אם צריך)
שלב 2: מצאו בטבלת Z את ציון התקן המתאים
שלב 3: חשבו ציון גולמי: \(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
⭐ הנוסחה ההפוכה
\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
💡 הסבר:
הציון הגולמי = הממוצע + (כמה סטיות תקן × גודל סטיית התקן)
✏️ דוגמה 1: מציאת ערך לפי אחוז מתחתיו
שאלה: ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 8.
מהו הציון שמתחתיו נמצאים 90% מהתלמידים?
שלב 1: 90% = 0.90 (כבר שטח משמאל)
שלב 2: חפשו 0.90 בטבלה
Z ≈ 1.28
שלב 3: חשבו ציון גולמי
\(x = 70 + 1.28 \cdot 8 = 70 + 10.24 = 80.24\)
תשובה: הציון הוא כ-80.24
✏️ דוגמה 2: מציאת ערך לפי אחוז מעליו
שאלה: משכורות בחברה מתפלגות נורמלית עם ממוצע 15,000₪ וסטיית תקן 4,000₪.
10% מהעובדים מרוויחים מעל משכורת מסוימת. מהי המשכורת?
שלב 1: אחוז משלים (כי נתון "מעליו")
100% - 10% = 90% = 0.90 (שטח משמאל)
שלב 2: חפשו 0.90 בטבלה
Z ≈ 1.28
שלב 3: חשבו ציון גולמי
\(x = 15000 + 1.28 \cdot 4000 = 15000 + 5120 = 20120\)
תשובה: המשכורת היא כ-20,120₪
✏️ דוגמה 3: מציאת אחוזון
שאלה: גובה גברים מתפלג נורמלית עם ממוצע 175 ס"מ וסטיית תקן 7 ס"מ.
מהו האחוזון ה-25 (הגובה שמתחתיו 25% מהגברים)?
שלב 1: 25% = 0.25
שלב 2: חפשו 0.25 בטבלה
Z ≈ -0.67
(שלילי כי מתחת לממוצע!)
שלב 3: חשבו ציון גולמי
\(x = 175 + (-0.67) \cdot 7 = 175 - 4.69 = 170.31\)
תשובה: האחוזון ה-25 הוא כ-170.3 ס"מ
🔍 מציאת ממוצע או סטיית תקן
💡 לפעמים חסר לנו הממוצע או סטיית התקן ויש לחשב אותם!
✏️ דוגמה: משכורות מתפלגות נורמלית עם חציון 15,000₪.
84.4% מהעובדים מרוויחים יותר מ-10,960₪. מהי סטיית התקן?
שלב 1: חציון = ממוצע (בהתפלגות נורמלית), אז \(\bar{x} = 15000\)
שלב 2: 84.4% מעל 10,960 → 15.6% מתחתיו
חפשו 0.156 בטבלה → Z ≈ -1.01
שלב 3: הציבו בנוסחה
\(Z = \frac{x - \bar{x}}{S}\)
\(-1.01 = \frac{10960 - 15000}{S}\)
\(-1.01 = \frac{-4040}{S}\)
\(S = \frac{-4040}{-1.01} = 4000\)
תשובה: סטיית התקן היא 4,000₪
📋 טבלת סיכום - בעיות הפוכות
| נתון | צריך למצוא | דרך הפתרון |
|---|---|---|
| אחוז מתחתיו | ציון גולמי | מצאו Z מהטבלה, חשבו x |
| אחוז מעליו | ציון גולמי | חשבו משלים, מצאו Z, חשבו x |
| ציון ואחוז | סטיית תקן | מצאו Z, הציבו בנוסחה, פתרו ל-S |
| ציון ואחוז | ממוצע | מצאו Z, הציבו בנוסחה, פתרו לממוצע |
📝 סיכום
\(x = \bar{x} + Z \cdot S\)
הסתברות → Z מהטבלה → ציון גולמי
שימו לב לכיוון: "מתחתיו" או "מעליו"